2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ において、$0 \le x \le 4$ の範囲での最大値と最小値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして求める問題です。具体的には、以下の5つの場合について考えます。 (1) $a \le 0$ (2) $0 < a < 2$ (3) $a = 2$ (4) $2 < a < 4$ (5) $4 \le a$

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + 3$ において、$0 \le x \le 4$ の範囲での最大値と最小値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして求める問題です。具体的には、以下の5つの場合について考えます。

(1) $a \le 0$

(2) $0 < a < 2$

(3) $a = 2$

(4) $2 < a < 4$

(5) $4 \le a$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 3 = (x - a)^2 - a^2 + 3$

これにより、この放物線の軸は $x = a$ であることがわかります。また、下に凸の放物線であることもわかります。定義域は $0 \le x \le 4$ です。

各場合について、軸の位置と定義域の関係を考慮して、最大値と最小値を求めます。

(1) $a \le 0$ のとき：

軸は $x \le 0$ にあるので、定義域の左端より左にあります。したがって、定義域内で $x$ が大きくなるほど $y$ も大きくなります。

最小値は $x = 0$ のときで、 $y = 0^2 - 2a(0) + 3 = 3$

最大値は $x = 4$ のときで、 $y = 4^2 - 2a(4) + 3 = 19 - 8a$

(2) $0 < a < 2$ のとき：

軸は定義域の中にあり、0と2の間にあります。

最小値は $x = a$ のときで、 $y = -a^2 + 3$

最大値は $x = 4$ のときで、 $y = 19 - 8a$

(3) $a = 2$ のとき：

軸は $x = 2$ にあります。

最小値は $x = 2$ のときで、 $y = -2^2 + 3 = -1$

最大値は $x = 0$ または $x = 4$ のときで、 $y = 3$ ( $x=0$のとき), $y= 16-16+3=3$ ($x=4$のとき)

(4) $2 < a < 4$ のとき：

軸は定義域の中にあり、2と4の間にあります。

最小値は $x = a$ のときで、 $y = -a^2 + 3$

最大値は $x = 0$ のときで、 $y = 3$

(5) $4 \le a$ のとき：

軸は $x \ge 4$ にあるので、定義域の右端より右にあります。したがって、定義域内で $x$ が小さくなるほど $y$ も大きくなります。

最小値は $x = 4$ のときで、 $y = 19 - 8a$

最大値は $x = 0$ のときで、 $y = 3$

3. 最終的な答え

(1) $a \le 0$ のとき：

最小値：3

最大値：$19 - 8a$

(2) $0 < a < 2$ のとき：

最小値：$-a^2 + 3$

最大値：$19 - 8a$

(3) $a = 2$ のとき：

最小値：-1

最大値：3

(4) $2 < a < 4$ のとき：

最小値：$-a^2 + 3$

最大値：3

(5) $4 \le a$ のとき：

最小値：$19 - 8a$

最大値：3