すべての実数 $x$ について、不等式 $ax^2 - 2ax + 2a > -8x + 2$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ について、不等式 $ax^2 - 2ax + 2a > -8x + 2$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を整理すると、

$ax^2 - 2ax + 8x + 2a - 2 > 0$

$ax^2 + (8 - 2a)x + (2a - 2) > 0$

この不等式がすべての実数 $x$ について成り立つための条件を考える。

(i) $a = 0$ のとき、

$8x - 2 > 0$

これはすべての実数 $x$ については成り立たない。

(ii) $a > 0$ のとき、

二次関数のグラフが下に凸であり、常に $x$ 軸より上にある（または接する）ためには、判別式 $D$ が $D \le 0$ である必要がある。

$D = (8 - 2a)^2 - 4a(2a - 2)$

$= 64 - 32a + 4a^2 - 8a^2 + 8a$

$= -4a^2 - 24a + 64$

したがって、$-4a^2 - 24a + 64 \le 0$

$a^2 + 6a - 16 \ge 0$

$(a + 8)(a - 2) \ge 0$

$a \le -8$ または $a \ge 2$

$a > 0$ であるから、$a \ge 2$

(iii) $a < 0$ のとき、

二次関数のグラフが上に凸であり、常に $x$ 軸より上にあることはないため、条件を満たさない。

したがって、求める $a$ の範囲は、$a \ge 2$ である。

3. 最終的な答え

$a \ge 2$