不等式 $x - 3 \geq \frac{2x}{x - 2}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $x - 3 \geq \frac{2x}{x - 2}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を左辺に移項します。

$$x - 3 - \frac{2x}{x - 2} \geq 0$$

次に、左辺を通分します。

$$\frac{(x - 3)(x - 2) - 2x}{x - 2} \geq 0$$

分子を展開して整理します。

$$\frac{x^2 - 5x + 6 - 2x}{x - 2} \geq 0$$

$$\frac{x^2 - 7x + 6}{x - 2} \geq 0$$

分子を因数分解します。

$$\frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 2} \geq 0$$

不等式を解くために、数直線上に $x = 1, 2, 6$ を書き込み、各区間で符号を調べます。$x=2$ は分母が0になるため除外します。

* $x < 1$ のとき、$(x - 1) < 0$, $(x - 6) < 0$, $(x - 2) < 0$ なので、$\frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 2} < 0$

* $1 \leq x < 2$ のとき、$(x - 1) \geq 0$, $(x - 6) < 0$, $(x - 2) < 0$ なので、$\frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 2} \geq 0$

* $2 < x \leq 6$ のとき、$(x - 1) > 0$, $(x - 6) \leq 0$, $(x - 2) > 0$ なので、$\frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 2} \leq 0$

* $x > 6$ のとき、$(x - 1) > 0$, $(x - 6) > 0$, $(x - 2) > 0$ なので、$\frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 2} > 0$

したがって、不等式を満たす $x$ の範囲は $1 \leq x < 2$ または $x \geq 6$ です。

3. 最終的な答え

$1 \leq x < 2$, $x \geq 6$