問題は、シグマ記号（$\Sigma$）を使って表された数列の和を、シグマ記号を使わずに、各項を書き並べて表現するものです。具体的には、 (1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$ (2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$ の2つの数列の和を求めます。

1. 問題の内容

問題は、シグマ記号（$\Sigma$）を使って表された数列の和を、シグマ記号を使わずに、各項を書き並べて表現するものです。具体的には、

(1) $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k$

(2) $\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8)$

の2つの数列の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 3^k = 2 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 + \cdots + 2 \cdot 3^n$

したがって、

ア: $2 \cdot 3^1 = 6$

イ: $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$

ウ: $2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$

(2)

$\sum_{k=2}^{5} (k^3 - 8) = (2^3 - 8) + (3^3 - 8) + (4^3 - 8) + (5^3 - 8)$

したがって、

エ: $2^3 - 8 = 8 - 8 = 0$

オ: $3^3 - 8 = 27 - 8 = 19$

カ: $4^3 - 8 = 64 - 8 = 56$

キ: $5^3 - 8 = 125 - 8 = 117$

3. 最終的な答え

(1)

$6 + 18 + 54 + \cdots + 2 \cdot 3^n$

(2)

$0 + 19 + 56 + 117$