整式 $P(x)$ が、$(x+2)^2$ で割り切れ、$x+4$ で割ると $3$ 余る。このとき、$P(x)$ を $(x+2)^2(x+4)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ が、$(x+2)^2$ で割り切れ、$x+4$ で割ると $3$ 余る。このとき、$P(x)$ を $(x+2)^2(x+4)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x+2)^2(x+4)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると、

$$P(x) = (x+2)^2(x+4)Q(x) + R(x)$$

$R(x)$ は $2$ 次以下の整式であるから、$R(x) = ax^2 + bx + c$ とおける。

したがって、

$$P(x) = (x+2)^2(x+4)Q(x) + ax^2 + bx + c$$

$P(x)$ は $(x+2)^2$ で割り切れるので、$ax^2+bx+c$ も $(x+2)^2$ で割り切れる。

したがって、$ax^2+bx+c = a(x+2)^2 = a(x^2+4x+4) = ax^2+4ax+4a$ とおける。

よって、

$$P(x) = (x+2)^2(x+4)Q(x) + a(x+2)^2$$

また、$P(x)$ を $x+4$ で割ると $3$ 余るので、$P(-4)=3$ である。

したがって、

$$P(-4) = (-4+2)^2(-4+4)Q(-4) + a(-4+2)^2 = 3$$

$$(x+2)^2 = (x^2 + 4x + 4)$$

$$0 + a(-2)^2 = 3$$

$$4a = 3$$

$$a = \frac{3}{4}$$

したがって、余りは

$$R(x) = \frac{3}{4}(x+2)^2 = \frac{3}{4}(x^2+4x+4) = \frac{3}{4}x^2 + 3x + 3$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}x^2 + 3x + 3$