整式 $P(x)$ は $(x+2)^2$ で割り切れ、$x+4$ で割ると $3$ 余る。$P(x)$ を $(x+2)^2(x+4)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ は $(x+2)^2$ で割り切れ、$x+4$ で割ると $3$ 余る。$P(x)$ を $(x+2)^2(x+4)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x+2)^2(x+4)$ で割ったときの余りを $ax^2 + bx + c$ とおく。

すると、ある整式 $Q(x)$ が存在して、

$$$$

P(x) = (x+2)^2(x+4)Q(x) + ax^2 + bx + c

$$$$

と表せる。

$P(x)$ は $(x+2)^2$ で割り切れるので、

$ax^2 + bx + c$ も $(x+2)^2$ で割り切れる。

したがって、

$$$$

ax^2 + bx + c = a(x+2)^2 = a(x^2 + 4x + 4) = ax^2 + 4ax + 4a

$$$$

と表せる。

よって、$P(x)$ は

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P(x) = (x+2)^2(x+4)Q(x) + a(x+2)^2

$$$$

と表せる。

$P(x)$ を $x+4$ で割ると $3$ 余るので、$P(-4) = 3$ である。

$P(-4) = a(-4+2)^2 = 4a = 3$ より、$a = \frac{3}{4}$ である。

したがって、求める余りは、

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\frac{3}{4}(x+2)^2 = \frac{3}{4}(x^2 + 4x + 4) = \frac{3}{4}x^2 + 3x + 3

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3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}x^2 + 3x + 3$