整式 $x^3 + ax^2 + bx + 2$ が整式 $(x-1)(x-2)$ で割り切れるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $x^3 + ax^2 + bx + 2$ が整式 $(x-1)(x-2)$ で割り切れるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

整式 $x^3 + ax^2 + bx + 2$ が $(x-1)(x-2)$ で割り切れるということは、因数定理より、$x=1$ と $x=2$ を代入したときに $0$ になるということです。

まず、$x=1$ を代入します。

$1^3 + a(1)^2 + b(1) + 2 = 0$

$1 + a + b + 2 = 0$

$a + b = -3$

次に、$x=2$ を代入します。

$2^3 + a(2)^2 + b(2) + 2 = 0$

$8 + 4a + 2b + 2 = 0$

$4a + 2b = -10$

$2a + b = -5$

$a+b = -3$ と $2a+b = -5$ の連立方程式を解きます。

$2a+b = -5$ から $a+b = -3$ を引くと、

$(2a+b) - (a+b) = -5 - (-3)$

$a = -2$

$a+b = -3$ に $a=-2$ を代入すると、

$-2 + b = -3$

$b = -1$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = -1$