$\sqrt{n^2 - 8n + 1}$ が整数となるような整数 $n$ の個数を求め、さらにそのような $n$ の中で最も大きいものを求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{n^2 - 8n + 1}$ が整数となるような整数 $n$ の個数を求め、さらにそのような $n$ の中で最も大きいものを求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{n^2 - 8n + 1} = m$ （$m$は整数）とおく。両辺を2乗すると、

$n^2 - 8n + 1 = m^2$

$n^2 - 8n + 1 - m^2 = 0$

この式を $n$ について解くために、平方完成を行う。

$n^2 - 8n = (n-4)^2 - 16$

よって、

$(n-4)^2 - 16 + 1 = m^2$

$(n-4)^2 - 15 = m^2$

$(n-4)^2 - m^2 = 15$

$(n-4+m)(n-4-m) = 15$

$n$ と $m$ は整数であるから、$n-4+m$ と $n-4-m$ も整数である。

$15$ の約数の組み合わせを考えると、

$(n-4+m, n-4-m) = (15, 1), (5, 3), (3, 5), (1, 15), (-1, -15), (-3, -5), (-5, -3), (-15, -1)$

の8通りが考えられる。

それぞれの組み合わせについて $n$ を求める。

1) $n-4+m = 15, n-4-m = 1$

2式を足すと、 $2(n-4) = 16 \implies n-4 = 8 \implies n = 12$

2式を引くと、 $2m = 14 \implies m = 7$

$m \ge 0$ であるから、これは正しい。

2) $n-4+m = 5, n-4-m = 3$

2式を足すと、 $2(n-4) = 8 \implies n-4 = 4 \implies n = 8$

2式を引くと、 $2m = 2 \implies m = 1$

$m \ge 0$ であるから、これは正しい。

3) $n-4+m = 3, n-4-m = 5$

2式を足すと、 $2(n-4) = 8 \implies n-4 = 4 \implies n = 8$

2式を引くと、 $2m = -2 \implies m = -1$

$m \ge 0$ でないから、これは正しくない。

4) $n-4+m = 1, n-4-m = 15$

2式を足すと、 $2(n-4) = 16 \implies n-4 = 8 \implies n = 12$

2式を引くと、 $2m = -14 \implies m = -7$

$m \ge 0$ でないから、これは正しくない。

5) $n-4+m = -1, n-4-m = -15$

2式を足すと、 $2(n-4) = -16 \implies n-4 = -8 \implies n = -4$

2式を引くと、 $2m = 14 \implies m = 7$

$m \ge 0$ であるから、これは正しい。

6) $n-4+m = -3, n-4-m = -5$

2式を足すと、 $2(n-4) = -8 \implies n-4 = -4 \implies n = 0$

2式を引くと、 $2m = 2 \implies m = 1$

$m \ge 0$ であるから、これは正しい。

7) $n-4+m = -5, n-4-m = -3$

2式を足すと、 $2(n-4) = -8 \implies n-4 = -4 \implies n = 0$

2式を引くと、 $2m = -2 \implies m = -1$

$m \ge 0$ でないから、これは正しくない。

8) $n-4+m = -15, n-4-m = -1$

2式を足すと、 $2(n-4) = -16 \implies n-4 = -8 \implies n = -4$

2式を引くと、 $2m = -14 \implies m = -7$

$m \ge 0$ でないから、これは正しくない。

したがって、$n$ の値は $12, 8, -4, 0$ の4つである。

この中で最も大きい $n$ は $12$ である。

3. 最終的な答え

整数 $n$ の個数：4個

最大の $n$：12