関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(5) = 4$ と $f^{-1}(-5) = -1$ が与えられたとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(5) = 4$ と $f^{-1}(-5) = -1$ が与えられたとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

逆関数の性質より、$f^{-1}(x) = y$ ならば $f(y) = x$ が成り立つ。

したがって、$f^{-1}(5) = 4$ より $f(4) = 5$ が成り立ち、$f^{-1}(-5) = -1$ より $f(-1) = -5$ が成り立つ。

$f(x) = ax + b$ であるから、

$f(4) = 4a + b = 5$

$f(-1) = -a + b = -5$

2つの式を連立させて $a$ と $b$ を求める。

$4a + b = 5$

$-a + b = -5$

上の式から下の式を引くと

$(4a + b) - (-a + b) = 5 - (-5)$

$5a = 10$

$a = 2$

$-a + b = -5$ に $a = 2$ を代入すると

$-2 + b = -5$

$b = -3$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -3$