関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、逆関数の定義より、$f(f^{-1}(x)) = x$ であることを利用する。

$f(f^{-1}(x))$ を計算すると、

$f(f^{-1}(x)) = f(\frac{3x+4}{bx+2}) = \frac{2(\frac{3x+4}{bx+2})+a}{\frac{3x+4}{bx+2}+3} = \frac{2(3x+4)+a(bx+2)}{3x+4+3(bx+2)} = \frac{6x+8+abx+2a}{3x+4+3bx+6} = \frac{(6+ab)x+8+2a}{(3+3b)x+10}$

これが $x$ に等しくなるためには、以下の条件を満たす必要がある。

* $x$ の係数の比が1に等しい：$\frac{6+ab}{3+3b} = 1$

* 定数項の比が1に等しい：$\frac{8+2a}{10} = 1$

これらの条件から連立方程式を立てて解く。

まず、$\frac{8+2a}{10} = 1$ より、

$8+2a = 10$

$2a = 2$

$a = 1$

次に、$\frac{6+ab}{3+3b} = 1$ に $a=1$ を代入すると、

$\frac{6+b}{3+3b} = 1$

$6+b = 3+3b$

$2b = 3$

$b = \frac{3}{2}$

したがって、$a=1$ , $b=\frac{3}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = \frac{3}{2}$