整式 $P(x)$ が $(x+2)^2$ で割り切れ、$x+4$ で割ると $3$ 余るとき、$P(x)$ を $(x+2)^2(x+4)$ で割ったときの余りを求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ が $(x+2)^2$ で割り切れ、$x+4$ で割ると $3$ 余るとき、$P(x)$ を $(x+2)^2(x+4)$ で割ったときの余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x+2)^2(x+4)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax^2+bx+c$ とすると、

$$P(x) = (x+2)^2(x+4)Q(x) + ax^2 + bx + c$$

$P(x)$ は $(x+2)^2$ で割り切れるので、$ax^2 + bx + c$ も $(x+2)^2$ で割り切れる必要があります。したがって、

$$ax^2 + bx + c = a(x+2)^2 = a(x^2+4x+4) = ax^2 + 4ax + 4a$$

$P(x) = (x+2)^2(x+4)Q(x) + a(x+2)^2$ と表せます。

$P(x)$ を $x+4$ で割ると $3$ 余るので、$P(-4) = 3$ となります。

$P(-4) = a(-4+2)^2 = a(-2)^2 = 4a = 3$

よって、$a = \frac{3}{4}$

したがって、余りは

$$a(x+2)^2 = \frac{3}{4}(x+2)^2 = \frac{3}{4}(x^2 + 4x + 4) = \frac{3}{4}x^2 + 3x + 3$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}x^2 + 3x + 3$