(1) $x = -1 + \sqrt{6}$ のとき、$x^2 + 2x - 5$ の値と $(x-1)(x-3)(x+3)(x+5)$ の値を求めます。 (2) $x, y$ は実数とします。$xy=7$ かつ $x<y$ であることは、$x=1$ かつ $y=7$ であるための何条件か、および $(x-y)(x^2-xy+y^2) < 0$ であることは、$x<y$ であるための何条件かを答えます。

1. 問題の内容

(1) $x = -1 + \sqrt{6}$ のとき、$x^2 + 2x - 5$ の値と $(x-1)(x-3)(x+3)(x+5)$ の値を求めます。

(2) $x, y$ は実数とします。$xy=7$ かつ $x<y$ であることは、$x=1$ かつ $y=7$ であるための何条件か、および $(x-y)(x^2-xy+y^2) < 0$ であることは、$x<y$ であるための何条件かを答えます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x = -1 + \sqrt{6}$ を与えられた式に代入します。

$x^2 + 2x - 5 = (-1 + \sqrt{6})^2 + 2(-1 + \sqrt{6}) - 5 = (1 - 2\sqrt{6} + 6) - 2 + 2\sqrt{6} - 5 = 7 - 2 - 5 = 0$

したがって、$x^2 + 2x - 5 = 0$

次に、$(x-1)(x-3)(x+3)(x+5)$ を計算します。

$(x-1)(x-3)(x+3)(x+5) = (x-1)(x+5)(x-3)(x+3) = (x^2 + 4x - 5)(x^2 - 9)$

$x^2 = ( -1 + \sqrt{6})^2 = 1 - 2\sqrt{6} + 6 = 7 - 2\sqrt{6}$

$x^2 + 4x - 5 = 7 - 2\sqrt{6} + 4(-1 + \sqrt{6}) - 5 = 7 - 2\sqrt{6} - 4 + 4\sqrt{6} - 5 = -2 + 2\sqrt{6}$

$x^2 - 9 = 7 - 2\sqrt{6} - 9 = -2 - 2\sqrt{6}$

$(x^2 + 4x - 5)(x^2 - 9) = (-2 + 2\sqrt{6})(-2 - 2\sqrt{6}) = (-2)^2 - (2\sqrt{6})^2 = 4 - 4 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$

したがって、$(x-1)(x-3)(x+3)(x+5) = -20$

(2)

$xy=7$ かつ $x<y$ であることは、$x=1$ かつ $y=7$ であるための何条件か。

$x=1$ かつ $y=7$ ならば、$xy = 1 \cdot 7 = 7$ かつ $x < y$ (1 < 7) が成り立つ。

しかし、$xy=7$ かつ $x < y$ であっても、$x=1$ かつ $y=7$ とは限らない。例えば、$x = \sqrt{7}$、$y = \sqrt{7}$ とすると、$xy=7$ となるが、$x < y$ を満たさない。また、$x=-7, y=-1$ とすると、$xy=7$ かつ $x<y$ を満たすが、$x=1$かつ$y=7$ではない。よって、十分条件であるが、必要条件ではない。

$(x-y)(x^2-xy+y^2) < 0$ であることは、$x<y$ であるための何条件か。

$x^2 - xy + y^2 = (x - \frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}y^2 > 0$ （ただし、$y \ne 0$とする）

$(x-y)(x^2-xy+y^2) < 0$ なので、$x-y < 0$ である必要がある。したがって、$x < y$。

逆に、$x < y$ ならば、$x-y < 0$ であり、$x^2 - xy + y^2 > 0$ なので、$(x-y)(x^2-xy+y^2) < 0$ が成り立つ。

したがって、必要十分条件である。

3. 最終的な答え

1: 0

2: -20

3: 3

4: 1