関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 - a$ について、$1 \le x \le 5$ における最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とします。 (1) $M(a)$ と $m(a)$ の組み合わせを考察するうえで足りない場合を考え、グラフの概形を描きます。 (2) (1) で追加した場合を [4] として、[1]～[4] のそれぞれの場合について、$a$ の範囲、$M(a)$、$m(a)$ を求めます。 (3) $M(a) - m(a) = 9$ を満たす実数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 - a$ について、$1 \le x \le 5$ における最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とします。

(1) $M(a)$ と $m(a)$ の組み合わせを考察するうえで足りない場合を考え、グラフの概形を描きます。

(2) (1) で追加した場合を [4] として、[1]～[4] のそれぞれの場合について、$a$ の範囲、$M(a)$、$m(a)$ を求めます。

(3) $M(a) - m(a) = 9$ を満たす実数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

与えられたグラフは、軸が $x<1$、 $1 \le x \le 5$、$x>5$ の場合を示しています。不足しているのは、軸が $x=a$ で $1 \le a \le 5$ の時に、$x=1$ と $x=5$ で $f(1) = f(5)$ となる場合、つまり軸が区間 $[1,5]$ の中点である $x=3$ の場合です。

グラフは、頂点が区間の中央に来る下に凸な二次関数となります。

(2)

まず、平方完成をして軸の位置を把握します。

$f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 - a = (x-a)^2 + a^2 - a$

軸は $x = a$ です。

[1] $a < 1$ のとき

$M(a) = f(5) = 25 - 10a + 2a^2 - a = 2a^2 - 11a + 25$

$m(a) = f(1) = 1 - 2a + 2a^2 - a = 2a^2 - 3a + 1$

[2] $1 \le a \le 3$ のとき

$M(a) = f(5) = 2a^2 - 11a + 25$

$m(a) = f(a) = a^2 - a$

[3] $3 < a \le 5$ のとき

$M(a) = f(1) = 2a^2 - 3a + 1$

$m(a) = f(a) = a^2 - a$

[4] $a > 5$ のとき

$M(a) = f(1) = 2a^2 - 3a + 1$

$m(a) = f(5) = 2a^2 - 11a + 25$

(3)

[1] $a < 1$ のとき

$M(a) - m(a) = (2a^2 - 11a + 25) - (2a^2 - 3a + 1) = -8a + 24 = 9$

$-8a = -15$ より $a = \frac{15}{8} = 1.875$

これは $a < 1$ を満たさないので不適。

[2] $1 \le a \le 3$ のとき

$M(a) - m(a) = (2a^2 - 11a + 25) - (a^2 - a) = a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2 = 9$

$a - 5 = \pm 3$ より $a = 8, 2$

$1 \le a \le 3$ より $a=2$ が適する。

[3] $3 < a \le 5$ のとき

$M(a) - m(a) = (2a^2 - 3a + 1) - (a^2 - a) = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2 = 9$

$a - 1 = \pm 3$ より $a = 4, -2$

$3 < a \le 5$ より $a = 4$ が適する。

[4] $a > 5$ のとき

$M(a) - m(a) = (2a^2 - 3a + 1) - (2a^2 - 11a + 25) = 8a - 24 = 9$

$8a = 33$ より $a = \frac{33}{8} = 4.125$

これは $a > 5$ を満たさないので不適。

3. 最終的な答え

$a = 2, 4$