$A$ を $n \times n$ の正方行列とし、$\tilde{a}_{ij}$ を $A$ の $(i,j)$ 余因子とする。$0 \le r < n$ とする。行列の積をとることで、以下の等式が成り立つことを示す。ただし、0次の行列式は1とみなす。証明は $|A| \ne 0$ の仮定のもとで行ってよい。 $\begin{vmatrix} \tilde{a}_{r+1,r+1} & \cdots & \tilde{a}_{n,r+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{a}_{r+1,n} & \cdots & \tilde{a}_{n,n} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & a_{rr} \end{vmatrix} |A|^{n-r-1}$

1. 問題の内容

$A$ を $n \times n$ の正方行列とし、$\tilde{a}_{ij}$ を $A$ の $(i,j)$ 余因子とする。$0 \le r < n$ とする。行列の積をとることで、以下の等式が成り立つことを示す。ただし、0次の行列式は1とみなす。証明は $|A| \ne 0$ の仮定のもとで行ってよい。

$\begin{vmatrix} \tilde{a}_{r+1,r+1} & \cdots & \tilde{a}_{n,r+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{a}_{r+1,n} & \cdots & \tilde{a}_{n,n} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & a_{rr} \end{vmatrix} |A|^{n-r-1}$

2. 解き方の手順

まず、以下の行列の積を考える。

$\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} & a_{1,r+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & a_{rr} & a_{r,r+1} & \cdots & a_{rn} \\ a_{r+1,1} & \cdots & a_{r+1,r} & a_{r+1,r+1} & \cdots & a_{r+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nr} & a_{n,r+1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0 & \tilde{a}_{r+1,r+1} & \cdots & \tilde{a}_{n,r+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \tilde{a}_{r+1,r} & \cdots & \tilde{a}_{n,r} \\ 0 & \cdots & 0 & \tilde{a}_{r+1,r+1} & \cdots & \tilde{a}_{n,r+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \tilde{a}_{r+1,n} & \cdots & \tilde{a}_{n,n} \end{pmatrix}$

この積の左側の行列を$A$、右側の行列を$B$とする。行列$B$は、$r \times r$ の単位行列と、行列$A$の余因子から構成されていることがわかる。この積 $AB$ を計算する。$AB$ の $(i,j)$ 成分を $c_{ij}$ とすると、

$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$

$1 \le i \le r$ かつ $1 \le j \le r$ のとき、$c_{ij} = a_{ij}$ となる。

$1 \le i \le r$ かつ $r+1 \le j \le n$ のとき、$c_{ij} = \sum_{k=r+1}^n a_{ik} \tilde{a}_{jk} = 0$ （なぜなら、ある行の要素とその行以外の余因子をかけると0になるから）。

$r+1 \le i \le n$ かつ $1 \le j \le r$ のとき、$c_{ij} = a_{ij}$となる。

$r+1 \le i \le n$ かつ $r+1 \le j \le n$ のとき、$c_{ij} = \sum_{k=1}^r a_{ik} \cdot 0 + \sum_{k=r+1}^n a_{ik} \tilde{a}_{jk}$ となる。これは、$i = j$ のとき $|A|$ になり、$i \ne j$ のとき0になる。したがって、

$c_{ij} = \begin{cases} a_{ij} & 1 \le i \le r, 1 \le j \le r \\ 0 & 1 \le i \le r, r+1 \le j \le n \\ a_{ij} & r+1 \le i \le n, 1 \le j \le r \\ |A|\delta_{ij} & r+1 \le i \le n, r+1 \le j \le n \end{cases}$

ここで、$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタ。したがって、$AB$ は以下のようになる。

$AB = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & a_{rr} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{r+1,1} & \cdots & a_{r+1,r} & |A| & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nr} & 0 & \cdots & |A| \end{pmatrix}$

両辺の行列式を取ると、

$|A||B| = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & a_{rr} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{r+1,1} & \cdots & a_{r+1,r} & |A| & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nr} & 0 & \cdots & |A| \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & a_{rr} \end{vmatrix} |A|^{n-r}$

$|B| = \begin{vmatrix} 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \tilde{a}_{r+1,r+1} & \cdots & \tilde{a}_{n,r+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{a}_{r+1,n} & \cdots & \tilde{a}_{n,n} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \tilde{a}_{r+1,r+1} & \cdots & \tilde{a}_{n,r+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{a}_{r+1,n} & \cdots & \tilde{a}_{n,n} \end{vmatrix}$

よって、

$|A| \begin{vmatrix} \tilde{a}_{r+1,r+1} & \cdots & \tilde{a}_{n,r+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{a}_{r+1,n} & \cdots & \tilde{a}_{n,n} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & a_{rr} \end{vmatrix} |A|^{n-r}$

$|A| \ne 0$ を仮定しているので、両辺を $|A|$ で割ると、

$\begin{vmatrix} \tilde{a}_{r+1,r+1} & \cdots & \tilde{a}_{n,r+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{a}_{r+1,n} & \cdots & \tilde{a}_{n,n} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & a_{rr} \end{vmatrix} |A|^{n-r-1}$

3. 最終的な答え

$\begin{vmatrix} \tilde{a}_{r+1,r+1} & \cdots & \tilde{a}_{n,r+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde{a}_{r+1,n} & \cdots & \tilde{a}_{n,n} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & a_{rr} \end{vmatrix} |A|^{n-r-1}$