与えられた3x3行列の余因子行列を求める問題です。与えられた行列は $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の余因子行列を求める問題です。与えられた行列は

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

余因子行列は、各要素の余因子を計算し、それらを並べた行列の転置を取ることで得られます。まず、余因子 $C_{ij}$ を計算します。$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$です。ここで、$M_{ij}$ は (i, j) 成分を取り除いた小行列の行列式です。

* $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-1)(-1) = 3 - 1 = 2$

* $C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (-1)((4)(3) - (-1)(2)) = -(12 + 2) = -14$

* $C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (1)((4)(-1) - (1)(2)) = -4 - 2 = -6$

* $C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (-1)((-2)(3) - (2)(-1)) = -(-6 + 2) = 4$

* $C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (1)((1)(3) - (2)(2)) = 3 - 4 = -1$

* $C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1)((1)(-1) - (-2)(2)) = -(-1 + 4) = -3$

* $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1)((-2)(-1) - (2)(1)) = 2 - 2 = 0$

* $C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (-1)((1)(-1) - (2)(4)) = -(-1 - 8) = 9$

* $C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (1)((1)(1) - (-2)(4)) = 1 + 8 = 9$

余因子行列は

$\begin{bmatrix} 2 & -14 & -6 \\ 4 & -1 & -3 \\ 0 & 9 & 9 \end{bmatrix}$

求める余因子行列は、上記の行列の転置を取ります。

$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -14 & -1 & 9 \\ -6 & -3 & 9 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ -14 & -1 & 9 \\ -6 & -3 & 9 \end{bmatrix}$