$x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ が整式 $x^2 - 2x + 1$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ が整式 $x^2 - 2x + 1$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ なので、与えられた4次式は $(x - 1)^2$ で割り切れる。

つまり、与えられた4次式は $(x - 1)$ で2回割り切れる。

まず、$x = 1$ を代入すると

$1^4 + a(1)^3 + a(1)^2 + b(1) - 6 = 0$

$1 + a + a + b - 6 = 0$

$2a + b = 5$ ...(1)

次に、4次式を $f(x)$ とおくと、

$f(x) = x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$

$f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2ax + b$

$f(x)$ が $(x - 1)^2$ で割り切れるので、$f'(1) = 0$ も成立する。

$f'(1) = 4(1)^3 + 3a(1)^2 + 2a(1) + b = 0$

$4 + 3a + 2a + b = 0$

$5a + b = -4$ ...(2)

(2) - (1) より

$5a + b - (2a + b) = -4 - 5$

$3a = -9$

$a = -3$

(1) に代入すると

$2(-3) + b = 5$

$-6 + b = 5$

$b = 11$

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = 11$