与えられた4x4の行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

2 & 0 & 1 & 0 \\

0 & -1 & 1 & -2 \\

1 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 3

\end{pmatrix}

$$

2. 解き方の手順

与えられた行列の行列式を計算します。いくつかの方法がありますが、ここでは余因子展開を利用します。

まず、1行目で展開します。

$$

\det(A) = 2 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 1 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14}

$$

ここで、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の余因子です。したがって、

$$

\det(A) = 2 \cdot C_{11} + C_{13}

$$

次に、$C_{11}$ と $C_{13}$ を計算します。

$$

C_{11} = (-1)^{1+1} \det \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

$$

この3x3行列の行列式を計算します。2行目で展開すると、

$$

\det \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} = 0 \cdot (...) + 1 \cdot (-1)^{2+2} \det \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} + 0 \cdot (...) = (-1)(3) - (1)(-2) = -3 + 2 = -1

$$

したがって、$C_{11} = (-1)^{1+1}(-1) = -1$。

次に、$C_{13}$を計算します。

$$

C_{13} = (-1)^{1+3} \det \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}

$$

この3x3行列の行列式を計算します。1行目で展開すると、

$$

\det \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} = 0 \cdot (...) + (-1)(-1) \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + (-2)(-1) \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1(3) -2(1) = 3

$$

したがって、$C_{13} = (-1)^{1+3} (1 \cdot (0*3-1*0)= 1(-1 \cdot ((1 * 3) - 0) - 2((1*1)-(0*0))) =0 - (-1 * ((1 * 3)-0 )) + (-2)* ((1 * 1 ) -0)) )$

もしくは2行目で展開すると、$C_{13} = 1*((-1)^(2+1) \det \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}) = (-1) * ((1 * (-1*(3) - (-2) * (1)))) = 3$

したがって、$C_{13} = (+1) * (0 - ((-1) (1 \cdot 3 - 0 \cdot 0))) + (-2(1))= 1 *( 3) = 3$

ゆえに、 $\det(A) = 2(-1) + 3= 1$

$\det(A) = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1)= -2 + 0= -2 -3 = 1$

よって、行列式は$2(-1) + 1 * 0 = -2$

3. 最終的な答え

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