問題5：$a, b, c$ を $ab \neq 0$ となる定数とする。2次正方行列 $\begin{pmatrix} a^2 + c & ab \\ ab & b^2 + c \end{pmatrix}$ が対角化できるか調べて、できる場合対角化せよ。

1. 問題の内容

問題5：$a, b, c$ を $ab \neq 0$ となる定数とする。2次正方行列

$\begin{pmatrix} a^2 + c & ab \\ ab & b^2 + c \end{pmatrix}$

が対角化できるか調べて、できる場合対角化せよ。

2. 解き方の手順

与えられた行列を $A$ とおく。

$A = \begin{pmatrix} a^2 + c & ab \\ ab & b^2 + c \end{pmatrix}$

固有方程式は、

$|A - \lambda I| = 0$

$\begin{vmatrix} a^2 + c - \lambda & ab \\ ab & b^2 + c - \lambda \end{vmatrix} = (a^2 + c - \lambda)(b^2 + c - \lambda) - (ab)^2 = 0$

$\lambda^2 - (a^2 + b^2 + 2c)\lambda + (a^2 + c)(b^2 + c) - a^2 b^2 = 0$

$\lambda^2 - (a^2 + b^2 + 2c)\lambda + a^2c + b^2c + c^2 = 0$

解の公式より、

$\lambda = \frac{(a^2 + b^2 + 2c) \pm \sqrt{(a^2 + b^2 + 2c)^2 - 4(a^2c + b^2c + c^2)}}{2}$

$\lambda = \frac{(a^2 + b^2 + 2c) \pm \sqrt{a^4 + b^4 + 4c^2 + 2a^2b^2 + 4a^2c + 4b^2c - 4a^2c - 4b^2c - 4c^2}}{2}$

$\lambda = \frac{(a^2 + b^2 + 2c) \pm \sqrt{a^4 + b^4 + 2a^2b^2}}{2}$

$\lambda = \frac{(a^2 + b^2 + 2c) \pm \sqrt{(a^2 + b^2)^2}}{2}$

$\lambda = \frac{(a^2 + b^2 + 2c) \pm (a^2 + b^2)}{2}$

$\lambda_1 = \frac{a^2 + b^2 + 2c + a^2 + b^2}{2} = a^2 + b^2 + c$

$\lambda_2 = \frac{a^2 + b^2 + 2c - (a^2 + b^2)}{2} = c$

固有値が $a^2 + b^2 + c$ と $c$ であり、これらの固有値が異なる場合、$a^2 + b^2 + c \neq c$ より $a^2 + b^2 \neq 0$。 $a, b$ は実数なので、$a^2 + b^2 > 0$ であるから、$a^2 + b^2 \neq 0$ は常に成り立つ。したがって、固有値は常に異なるので、行列 $A$ は対角化可能である。

固有値 $a^2 + b^2 + c$ に対応する固有ベクトルを求める。

$\begin{pmatrix} a^2 + c - (a^2 + b^2 + c) & ab \\ ab & b^2 + c - (a^2 + b^2 + c) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -b^2 & ab \\ ab & -a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-b^2 x + ab y = 0$

$ab x - a^2 y = 0$

$bx = ay$

$x = a, y = b$ なので、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

固有値 $c$ に対応する固有ベクトルを求める。

$\begin{pmatrix} a^2 + c - c & ab \\ ab & b^2 + c - c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a^2 & ab \\ ab & b^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$a^2 x + ab y = 0$

$ab x + b^2 y = 0$

$ax + by = 0$

$x = b, y = -a$ なので、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} b \\ -a \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}$ とすると、

$P^{-1} = \frac{1}{-a^2 - b^2} \begin{pmatrix} -a & -b \\ -b & a \end{pmatrix} = \frac{1}{a^2 + b^2} \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}$

よって、

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 + c & 0 \\ 0 & c \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

対角化可能であり、対角化された行列は

$\begin{pmatrix} a^2 + b^2 + c & 0 \\ 0 & c \end{pmatrix}$

となります。