与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)^2$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)^2$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$(3k-1)^2$を展開します。

$$(3k-1)^2 = 9k^2 - 6k + 1$$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (3k-1)^2$ を $\sum_{k=1}^{n} (9k^2 - 6k + 1)$ に書き換えます。

和の性質を利用して、以下のように分解できます。

$$\sum_{k=1}^{n} (9k^2 - 6k + 1) = 9\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$$

ここで、次の公式を利用します。

$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

$$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$$

これらの公式を代入します。

$$9\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 9 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$$

$$= \frac{3n(n+1)(2n+1)}{2} - 3n(n+1) + n$$

$$= \frac{3n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 2n}{2}$$

$$= \frac{n[3(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 2]}{2}$$

$$= \frac{n[3(2n^2+3n+1) - 6n - 6 + 2]}{2}$$

$$= \frac{n[6n^2+9n+3 - 6n - 4]}{2}$$

$$= \frac{n(6n^2+3n-1)}{2}$$

$$= \frac{6n^3+3n^2-n}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{6n^3+3n^2-n}{2}$