2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ が、以下の条件を満たす異なる2つの解を持つように、定数 $m$ の値の範囲を定める問題です。 (1) 2つの解がともに負 (2) 2つの解が異符号 (3) 2つの解がともに1より大きい

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ が、以下の条件を満たす異なる2つの解を持つように、定数 $m$ の値の範囲を定める問題です。

(1) 2つの解がともに負

(2) 2つの解が異符号

(3) 2つの解がともに1より大きい

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式を $D$ とし、$D = b^2 - 4ac$ とします。また、2つの解を $\alpha$、$\beta$ とします。

(1) 2つの解がともに負であるための条件は、以下の3つです。

- $D > 0$ （異なる2つの実数解を持つ）

- $\alpha + \beta < 0$ （解の和が負）

- $\alpha \beta > 0$ （解の積が正）

(2) 2つの解が異符号であるための条件は、以下の1つです。

- $\alpha \beta < 0$ （解の積が負）

(3) 2つの解がともに1より大きいための条件は、以下の3つです。 $f(x) = x^2 - 2mx + m + 6$ とおく。

- $D > 0$ （異なる2つの実数解を持つ）

- $(\alpha - 1) + (\beta - 1) > 0$, つまり $\alpha + \beta > 2$

- $f(1) > 0$

具体的な計算を行います。

与えられた2次方程式は $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ です。

判別式 $D$ は、

$D = (-2m)^2 - 4(1)(m+6) = 4m^2 - 4m - 24 = 4(m^2 - m - 6) = 4(m-3)(m+2)$

解の和 $\alpha + \beta$ は、解と係数の関係より $\alpha + \beta = 2m$

解の積 $\alpha \beta$ は、解と係数の関係より $\alpha \beta = m + 6$

(1)

- $D > 0 \Rightarrow 4(m-3)(m+2) > 0 \Rightarrow m < -2$ または $m > 3$

- $\alpha + \beta < 0 \Rightarrow 2m < 0 \Rightarrow m < 0$

- $\alpha \beta > 0 \Rightarrow m + 6 > 0 \Rightarrow m > -6$

上記の3つの条件を満たす $m$ の範囲は、$-6 < m < -2$

(2)

- $\alpha \beta < 0 \Rightarrow m + 6 < 0 \Rightarrow m < -6$

(3) $f(x) = x^2 - 2mx + m + 6$

- $D > 0 \Rightarrow m < -2$ または $m > 3$

- $\alpha + \beta > 2 \Rightarrow 2m > 2 \Rightarrow m > 1$

- $f(1) = 1 - 2m + m + 6 = 7 - m > 0 \Rightarrow m < 7$

上記の3つの条件を満たす $m$ の範囲は、$3 < m < 7$

3. 最終的な答え

(1) $-6 < m < -2$

(2) $m < -6$

(3) $3 < m < 7$