2次方程式 $x^2 + kx + 24 = 0$ の2つの解の差が5であるとき、定数 $k$ の値と2つの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + kx + 24 = 0$ の2つの解の差が5であるとき、定数 $k$ の値と2つの解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 + kx + 24 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。

解と係数の関係より、

\begin{align*}

\alpha + \beta &= -k \\

\alpha \beta &= 24

\end{align*}

また、問題文より $|\alpha - \beta| = 5$ である。 $(\alpha - \beta)^2 = 25$ となる。

ここで、$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ であるから、

$$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 25$$

解と係数の関係を代入すると、

$$(-k)^2 - 4(24) = 25$$

$$k^2 - 96 = 25$$

$$k^2 = 121$$

$$k = \pm 11$$

(i) $k = 11$ のとき、2次方程式は $x^2 + 11x + 24 = 0$ となる。

これは $(x+3)(x+8) = 0$ と因数分解できるので、$x = -3, -8$。解の差は $|-3 - (-8)| = 5$ となり、条件を満たす。

(ii) $k = -11$ のとき、2次方程式は $x^2 - 11x + 24 = 0$ となる。

これは $(x-3)(x-8) = 0$ と因数分解できるので、$x = 3, 8$。解の差は $|3 - 8| = 5$ となり、条件を満たす。

3. 最終的な答え

$k=11$ のとき、解は $x = -3, -8$

$k=-11$ のとき、解は $x = 3, 8$