問題3.1の(1)と(2)について、与えられた置換の積を計算します。 (1) は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ を計算します。 (2) は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ を計算します。

1. 問題の内容

問題3.1の(1)と(2)について、与えられた置換の積を計算します。

(1) は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ を計算します。

(2) は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換の積は、右側の置換を先に行い、その結果に左側の置換を適用することで計算します。

(1)

まず、右側の置換を考えると、1は2に、2は3に、3は1に移ります。

次に、左側の置換を適用します。

- 1が2に移るので、2が左側の置換で1に移り、結果として1は1に移ります。

- 2が3に移るので、3が左側の置換で2に移り、結果として2は2に移ります。

- 3が1に移るので、1が左側の置換で3に移り、結果として3は3に移ります。

したがって、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

(2)

まず、右側の置換を考えると、1は4に、2は3に、3は2に、4は1に移ります。

次に、左側の置換を適用します。

- 1が4に移るので、4が左側の置換で1に移り、結果として1は1に移ります。

- 2が3に移るので、3が左側の置換で2に移り、結果として2は2に移ります。

- 3が2に移るので、2が左側の置換で4に移り、結果として3は4に移ります。

- 4が1に移るので、1が左側の置換で3に移り、結果として4は3に移ります。

したがって、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$