与えられた3つの連立方程式を掃き出し法で解く。 (1) $3x + 2y = 0$, $x - 2y = 8$ (2) $-x + z = 1$, $-y + 4z = 7$, $2x + y + 2z = 3$ (3) $\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの連立方程式を掃き出し法で解く。

(1) $3x + 2y = 0$, $x - 2y = 8$

(2) $-x + z = 1$, $-y + 4z = 7$, $2x + y + 2z = 3$

(3)

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた連立方程式を書き出す。

$3x + 2y = 0$

$x - 2y = 8$

2つの式を足し合わせると、

$4x = 8$

したがって、$x = 2$

$x = 2$ を最初の式に代入すると、

$3(2) + 2y = 0$

$6 + 2y = 0$

$2y = -6$

$y = -3$

(2)

与えられた連立方程式を書き出す。

$-x + z = 1$

$-y + 4z = 7$

$2x + y + 2z = 3$

最初の式から $x = z - 1$

2番目の式から $y = 4z - 7$

これらを3番目の式に代入すると、

$2(z - 1) + (4z - 7) + 2z = 3$

$2z - 2 + 4z - 7 + 2z = 3$

$8z - 9 = 3$

$8z = 12$

$z = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$x = z - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$y = 4z - 7 = 4(\frac{3}{2}) - 7 = 6 - 7 = -1$

(3)

与えられた行列の連立一次方程式を拡大係数行列として表す。

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & -3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \end{pmatrix}$

1行目と3行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

2行目に1行目を足す。

3行目から1行目の2倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

2行目と3行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の3倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \end{pmatrix}$

3行目を-2で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2行目から3行目を引く。

1行目に3行目を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1行目から2行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

したがって、$x=1, y=-1, z=2$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, y = -3$

(2) $x = \frac{1}{2}, y = -1, z = \frac{3}{2}$

(3) $x = 1, y = -1, z = 2$