数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ (n=1, 2, 3, ...) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ (n=1, 2, 3, ...) で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、特性方程式を解く。

$a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ に対して、特性方程式は

$x^2 = x + 2$

である。

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

よって、$x = 2, -1$。

数列の漸化式は以下のように変形できる。

$a_{n+2} - 2a_{n+1} = -(a_{n+1} - 2a_n)$

$a_{n+2} + a_{n+1} = 2(a_{n+1} + a_n)$

数列 $\{a_{n+1} - 2a_n\}$ は初項 $a_2 - 2a_1 = 3 - 2(2) = -1$, 公比 $-1$ の等比数列なので、

$a_{n+1} - 2a_n = (-1)(-1)^{n-1} = (-1)^n$

数列 $\{a_{n+1} + a_n\}$ は初項 $a_2 + a_1 = 3 + 2 = 5$, 公比 $2$ の等比数列なので、

$a_{n+1} + a_n = 5(2)^{n-1}$

$a_{n+1} + a_n = 5(2)^{n-1}$

$a_{n+1} - 2a_n = (-1)^n$

上の式から下の式を引くと、

$3a_n = 5(2)^{n-1} - (-1)^n$

$a_n = \frac{5(2)^{n-1} - (-1)^n}{3}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{5(2)^{n-1} - (-1)^n}{3}$