放物線 $G: y = x^2 + ax + b$ が点 (0, 2) と (1, 1) を通る。 (1) $a$ と $b$ の値を求め、G の頂点の座標を求める。 (2) (i) G を $y$ 軸に関して対称移動した放物線 $C_1$ の方程式を求める。 (ii) G を $x$ 軸に関して対称移動した放物線 $C_2$ の方程式を求める。 (3) 3 つの放物線 G, $C_1$, $C_2$ の頂点をそれぞれ A, B, C とし、G を平行移動した放物線 H のうち、頂点が線分 BC 上にあるものを考える。H は点 $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ を通り、線分 AC と P で、線分 AB と Q で交わるとき、P と Q の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $G: y = x^2 + ax + b$ が点 (0, 2) と (1, 1) を通る。

(1) $a$ と $b$ の値を求め、G の頂点の座標を求める。

(2) (i) G を $y$ 軸に関して対称移動した放物線 $C_1$ の方程式を求める。

(ii) G を $x$ 軸に関して対称移動した放物線 $C_2$ の方程式を求める。

(3) 3 つの放物線 G, $C_1$, $C_2$ の頂点をそれぞれ A, B, C とし、G を平行移動した放物線 H のうち、頂点が線分 BC 上にあるものを考える。H は点 $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ を通り、線分 AC と P で、線分 AB と Q で交わるとき、P と Q の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 G が点 (0, 2) と (1, 1) を通るので、それぞれ代入する。

$2 = 0^2 + a(0) + b$ より $b = 2$

$1 = 1^2 + a(1) + b$ より $1 = 1 + a + 2$ なので $a = -2$

よって $y = x^2 - 2x + 2$

平方完成すると $y = (x - 1)^2 + 1$ となるので、頂点の座標は (1, 1)。

(2) (i) G を $y$ 軸に関して対称移動すると、$x$ が $-x$ に変わるので、

$C_1: y = (-x)^2 - 2(-x) + 2 = x^2 + 2x + 2$

(ii) G を $x$ 軸に関して対称移動すると、$y$ が $-y$ に変わるので、

$C_2: -y = x^2 - 2x + 2$ より $y = -x^2 + 2x - 2$

(3) G の頂点 A は (1, 1)。

$C_1: y = x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1$ なので、$C_1$ の頂点 B は (-1, 1)。

$C_2: y = -x^2 + 2x - 2 = -(x - 1)^2 - 1$ なので、$C_2$ の頂点 C は (1, -1)。

頂点を (p, q) とする放物線 H の方程式は $y = (x - p)^2 + q$ と表せる。これが点 $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ を通るので、

$\frac{1}{3} = (-\frac{1}{3} - p)^2 + q$

$\frac{1}{3} = (\frac{1}{9} + \frac{2}{3}p + p^2) + q$

$p^2 + \frac{2}{3}p + q = \frac{2}{9}$

線分 BC 上にある条件より、点 (p, q) は B(-1, 1) と C(1, -1) を結ぶ直線上にある。直線 BC の方程式は、傾きが $\frac{-1 - 1}{1 - (-1)} = -1$ なので、$y - 1 = -1(x + 1)$ より $y = -x$ となる。したがって、$q = -p$。

$p^2 + \frac{2}{3}p - p = \frac{2}{9}$

$p^2 - \frac{1}{3}p - \frac{2}{9} = 0$

$9p^2 - 3p - 2 = 0$

$(3p + 1)(3p - 2) = 0$

$p = -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$

点 $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ は既知なので、$p = \frac{2}{3}, q = -\frac{2}{3}$

$H: y = (x - \frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{6}{9} = x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{2}{9}$

直線 AC の方程式は、$A(1, 1), C(1, -1)$ より $x=1$

$H: y = 1 - \frac{4}{3} - \frac{2}{9} = \frac{9 - 12 - 2}{9} = -\frac{5}{9}$

よって P は $(1, -\frac{5}{9})$

直線 AB の方程式は、$A(1, 1), B(-1, 1)$ より $y=1$

$H: 1 = x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{2}{9}$

$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{11}{9} = 0$

$9x^2 - 12x - 11 = 0$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 396}}{18} = \frac{12 \pm \sqrt{540}}{18} = \frac{12 \pm 6\sqrt{15}}{18} = \frac{2 \pm \sqrt{15}}{3}$

Aのx座標は1なので、$x = \frac{2 - \sqrt{15}}{3}$

よって Q は $(\frac{2 - \sqrt{15}}{3}, 1)$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2$, $b = 2$, 頂点の座標は (1, 1)

(2) (i) $C_1: y = x^2 + 2x + 2$

(ii) $C_2: y = -x^2 + 2x - 2$

(3) P: $(1, -\frac{5}{9})$, Q: $(\frac{2 - \sqrt{15}}{3}, 1)$