数列 $\{a_n\}$ があり、初期値 $a_1 = 2, a_2 = 3$ と漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義される。この数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、初期値 $a_1 = 2, a_2 = 3$ と漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義される。この数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ の特性方程式を求める。特性方程式は

$x^2 = x + 2$

となる。これを変形すると

$x^2 - x - 2 = 0$

となる。この2次方程式を解くと

$(x - 2)(x + 1) = 0$

より、$x = 2, -1$ となる。したがって、数列の一般項は

$a_n = A \cdot 2^n + B \cdot (-1)^n$

と表される。ここで、$A, B$ は定数である。初期条件 $a_1 = 2, a_2 = 3$ を代入して、$A, B$ を求める。

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2$ より

$2 = 2A - B$

$n = 2$ のとき、$a_2 = 3$ より

$3 = 4A + B$

この連立方程式を解く。2つの式を足すと

$5 = 6A$

より

$A = \frac{5}{6}$

となる。これを $2 = 2A - B$ に代入すると

$2 = 2 \cdot \frac{5}{6} - B$

$2 = \frac{5}{3} - B$

$B = \frac{5}{3} - 2 = \frac{5 - 6}{3} = -\frac{1}{3}$

したがって、$A = \frac{5}{6}, B = -\frac{1}{3}$ となるので、一般項は

$a_n = \frac{5}{6} \cdot 2^n - \frac{1}{3} \cdot (-1)^n$

$a_n = \frac{5}{6} \cdot 2^n - \frac{1}{3} \cdot (-1)^n = \frac{5 \cdot 2^n - 2 \cdot (-1)^n}{6}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{5 \cdot 2^n - 2 \cdot (-1)^n}{6}$