数列 $\{a_n\}$ は、初期値 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$ と漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義される。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は、初期値 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$ と漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義される。この数列の一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ は、特性方程式を用いることで解くことができる。

1. 特性方程式を立てる。

漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ に対して、特性方程式は

$$x^2 = x + 2$$

となる。

2. 特性方程式を解く。

特性方程式を解くと、

$$x^2 - x - 2 = 0$$

$$(x - 2)(x + 1) = 0$$

よって、$x = 2, -1$ となる。

3. 一般項を仮定する。

特性方程式の解が $2$ と $-1$ であるから、数列の一般項は

$$a_n = A \cdot 2^n + B \cdot (-1)^n$$

と表せる。ここで、$A, B$ は定数である。

4. 初期条件から $A, B$ を求める。

初期条件 $a_1 = 2$ と $a_2 = 3$ を用いると、

$$a_1 = 2A - B = 2$$

$$a_2 = 4A + B = 3$$

この連立方程式を解く。2つの式を足すと

$$6A = 5$$

$$A = \frac{5}{6}$$

これを $2A - B = 2$ に代入すると、

$$2 \cdot \frac{5}{6} - B = 2$$

$$\frac{5}{3} - B = 2$$

$$B = \frac{5}{3} - 2 = \frac{5 - 6}{3} = -\frac{1}{3}$$

5. 一般項を求める。

したがって、一般項は

$$a_n = \frac{5}{6} \cdot 2^n - \frac{1}{3} \cdot (-1)^n$$

$$a_n = \frac{5 \cdot 2^n}{6} - \frac{(-1)^n}{3}$$

$$a_n = \frac{5 \cdot 2^n - 2 \cdot (-1)^n}{6}$$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{5 \cdot 2^n - 2 \cdot (-1)^n}{6}$