$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$3.75 = \frac{15}{4}$ なので、$3.75^n = (\frac{15}{4})^n$ です。

$3.75^n$ の整数部分が3桁であるということは、$100 \le 3.75^n < 1000$ が成り立つということです。

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 100 \le \log_{10} (3.75^n) < \log_{10} 1000$

$2 \le n \log_{10} 3.75 < 3$

$2 \le n \log_{10} \frac{15}{4} < 3$

$2 \le n (\log_{10} 15 - \log_{10} 4) < 3$

$2 \le n (\log_{10} (3 \times 5) - \log_{10} 2^2) < 3$

$2 \le n (\log_{10} 3 + \log_{10} 5 - 2 \log_{10} 2) < 3$

ここで、$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$ なので、

$2 \le n (0.4771 + 0.6990 - 2 \times 0.3010) < 3$

$2 \le n (0.4771 + 0.6990 - 0.6020) < 3$

$2 \le n (1.1761 - 0.6020) < 3$

$2 \le n (0.5741) < 3$

$\frac{2}{0.5741} \le n < \frac{3}{0.5741}$

$3.483 \le n < 5.226$

$n$ は整数なので、$n = 4, 5$ です。

したがって、条件を満たす整数 $n$ の個数は2個です。

3. 最終的な答え

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