不等式 $(\log_4 x)^2 - \log_8 x^2 + \frac{1}{3} < 0$ を解け。

1. 問題の内容

不等式 $(\log_4 x)^2 - \log_8 x^2 + \frac{1}{3} < 0$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、対数の底を統一する。

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$

$\log_8 x^2 = 2 \log_8 x = 2 \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = 2 \frac{\log_2 x}{3} = \frac{2}{3} \log_2 x$

よって、与えられた不等式は

$(\frac{\log_2 x}{2})^2 - \frac{2}{3} \log_2 x + \frac{1}{3} < 0$

$\frac{1}{4} (\log_2 x)^2 - \frac{2}{3} \log_2 x + \frac{1}{3} < 0$

ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、

$\frac{1}{4} t^2 - \frac{2}{3} t + \frac{1}{3} < 0$

両辺に12を掛けて、

$3t^2 - 8t + 4 < 0$

$(3t - 2)(t - 2) < 0$

$\frac{2}{3} < t < 2$

したがって、

$\frac{2}{3} < \log_2 x < 2$

$2^{\frac{2}{3}} < x < 2^2$

$2^{\frac{2}{3}} < x < 4$

真数条件より、$x > 0$ である必要があるので、上記の範囲は問題ない。

3. 最終的な答え

$2^{\frac{2}{3}} < x < 4$