与えられた指数・対数関数の計算問題、指数方程式、対数関数グラフの平行移動に関する問題を解く。具体的には、以下の問題を解く。 * 17(1): $\sqrt{60} \div \sqrt{3} \times \sqrt{540}$ * 17(2): $\log_3 6 - \log_9 12$ * 17(3): $\log_2 6 \cdot \log_3 6 - (\log_2 3 + \log_3 2)$ * 17(4): $(\sqrt{3})^{4 \log_3 2}$ * 18: $2^x + 2^{1-x} = 3$ を満たす正の数 $x$ の値を求める。$2^y + 2^{-y} = 5$ を満たすとき、$4^y + 4^{-y}$ と $8^y + 8^{-y}$ の値を求める。 * 19(1): $9^{x+1} + 2 \cdot 3^{x+2} = 3^x + 2$ * 19(2): $8^{x-1} - 4^{x+1} - 2^{3x+2} + 16 = 0$ * 20: $y = 2 + \log_{10}(2x-5)$ のグラフが $y = \log_{10} x$ のグラフを $x$ 軸方向、 $y$ 軸方向にそれぞれどれだけ平行移動したものかを求める。

1. 問題の内容

与えられた指数・対数関数の計算問題、指数方程式、対数関数グラフの平行移動に関する問題を解く。具体的には、以下の問題を解く。

* 17(1): $\sqrt{60} \div \sqrt{3} \times \sqrt{540}$

* 17(2): $\log_3 6 - \log_9 12$

* 17(3): $\log_2 6 \cdot \log_3 6 - (\log_2 3 + \log_3 2)$

* 17(4): $(\sqrt{3})^{4 \log_3 2}$

* 18: $2^x + 2^{1-x} = 3$ を満たす正の数 $x$ の値を求める。$2^y + 2^{-y} = 5$ を満たすとき、$4^y + 4^{-y}$ と $8^y + 8^{-y}$ の値を求める。

* 19(1): $9^{x+1} + 2 \cdot 3^{x+2} = 3^x + 2$

* 19(2): $8^{x-1} - 4^{x+1} - 2^{3x+2} + 16 = 0$

* 20: $y = 2 + \log_{10}(2x-5)$ のグラフが $y = \log_{10} x$ のグラフを $x$ 軸方向、 $y$ 軸方向にそれぞれどれだけ平行移動したものかを求める。

2. 解き方の手順

* 17(1): $\sqrt{60} \div \sqrt{3} \times \sqrt{540} = \sqrt{\frac{60 \times 540}{3}} = \sqrt{60 \times 180} = \sqrt{3600 \times 3} = 60\sqrt{3}$

* 17(2): $\log_3 6 - \log_9 12 = \log_3 6 - \frac{\log_3 12}{\log_3 9} = \log_3 6 - \frac{1}{2}\log_3 12 = \log_3 6 - \log_3 \sqrt{12} = \log_3 \frac{6}{\sqrt{12}} = \log_3 \frac{6}{2\sqrt{3}} = \log_3 \frac{3}{\sqrt{3}} = \log_3 \sqrt{3} = \frac{1}{2}$

* 17(3): $\log_2 6 \cdot \log_3 6 - (\log_2 3 + \log_3 2) = (\log_2 2 + \log_2 3)(\log_3 3 + \log_3 2) - (\log_2 3 + \log_3 2) = (1 + \log_2 3)(1 + \log_3 2) - (\log_2 3 + \log_3 2) = 1 + \log_2 3 + \log_3 2 + \log_2 3 \log_3 2 - \log_2 3 - \log_3 2 = 1 + \log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1 + \frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 2}{\log 3} = 1 + 1 = 2$

* 17(4): $(\sqrt{3})^{4 \log_3 2} = (3^{\frac{1}{2}})^{4 \log_3 2} = 3^{2 \log_3 2} = 3^{\log_3 2^2} = 3^{\log_3 4} = 4$

* 18: $2^x + 2^{1-x} = 3$ を $2^x + \frac{2}{2^x} = 3$ と変形する。ここで $t = 2^x$ とおくと、$t + \frac{2}{t} = 3$ となる。両辺に $t$ をかけて、$t^2 - 3t + 2 = 0$。 $(t-1)(t-2) = 0$ より $t=1, 2$。したがって、$2^x = 1$ または $2^x = 2$。よって、$x = 0$ または $x = 1$。問題文より $x$ は正の数なので、$x = 1$。

$2^y + 2^{-y} = 5$ のとき、$4^y + 4^{-y} = (2^y)^2 + (2^{-y})^2 = (2^y + 2^{-y})^2 - 2 \cdot 2^y \cdot 2^{-y} = 5^2 - 2 = 25 - 2 = 23$。

$8^y + 8^{-y} = (2^y)^3 + (2^{-y})^3 = (2^y + 2^{-y})((2^y)^2 - 2^y \cdot 2^{-y} + (2^{-y})^2) = (2^y + 2^{-y})((2^y + 2^{-y})^2 - 3) = 5(5^2 - 3) = 5(25 - 3) = 5 \cdot 22 = 110$。

* 19(1): $9^{x+1} + 2 \cdot 3^{x+2} = 3^x + 2$ を $9 \cdot 9^x + 18 \cdot 3^x = 3^x + 2$ と変形する。ここで $t = 3^x$ とおくと、$9t^2 + 18t = t + 2$ となる。よって、$9t^2 + 17t - 2 = 0$。$(9t - 1)(t + 2) = 0$ より $t = \frac{1}{9}$ または $t = -2$。$3^x = \frac{1}{9}$ より $3^x = 3^{-2}$。したがって、$x = -2$。$3^x = -2$ は解なし。

* 19(2): $8^{x-1} - 4^{x+1} - 2^{3x+2} + 16 = 0$ を $\frac{1}{8} \cdot 8^x - 4 \cdot 4^x - 4 \cdot 8^x + 16 = 0$ と変形する。ここで $t = 2^x$ とおくと、$\frac{1}{8}t^3 - 4t^2 - 4t^3 + 16 = 0$ となる。両辺に 8 をかけて、$t^3 - 32t^2 - 32t^3 + 128 = 0$。$-31t^3 - 32t^2 + 128 = 0$。これは解くのが難しいので、式を整理して再度考える。

$\frac{8^x}{8} - 4\cdot 4^x - 4 \cdot 8^x + 16 = 0$.

$8^x(\frac{1}{8} - 4) -4\cdot 4^x + 16 = 0$.

$-\frac{31}{8} \cdot 8^x - 4 \cdot 4^x + 16 = 0$.

$2^{3x-3} - 2^{2x+2} - 2^{3x+2} + 16 = 0$

$2^{3x-3} - 2^{2x+2} - 4\cdot 2^{3x} + 16 = 0$

$2^{3x-3} - 4\cdot 2^{2x} - 4\cdot 2^{3x} + 16 = 0$

$t=2^x$とおくと、$t^3/8 - 4 t^2 -4 t^3 + 16=0$

$t^3 - 32t^2 - 32t^3 + 128 = 0$

$-31t^3 - 32t^2 + 128 = 0$

$31t^3+32t^2-128=0$. $t=2$を代入すると，$31*8 + 32*4 -128 = 248+128-128 = 248 !=0$

$t=-2$を代入すると，$31*(-8)+32*4 -128 = -248+128-128 = -248 !=0$

$x=0$を代入すると$\frac{1}{8}-4-4+16 = -8+\frac{129}{8} = \frac{65}{8}!=0$.

問題文を再確認すると $8^{x-1} - 4^{x+1} - 2^{3x+2} + 16 = 0$。これは $2^{3(x-1)} - 2^{2(x+1)} - 2^{3x+2} + 2^4 = 0$ となる。

$2^{3x-3} - 2^{2x+2} - 2^{3x+2} + 2^4 = 0$.

$2^{3x-3} - 4\cdot 2^{2x} - 4 \cdot 2^{3x} + 16 = 0$.

$2^{3x-3}(1 - 32) - 4 \cdot 2^{2x} = -16$.

$2^{3x}/8 - 4 \cdot 2^{2x} - 4 \cdot 2^{3x} + 16 = 0$.

* 20: $y = 2 + \log_{10}(2x-5) = 2 + \log_{10}(2(x - \frac{5}{2})) = 2 + \log_{10} 2 + \log_{10}(x - \frac{5}{2})$。

$y = \log_{10} x$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{5}{2}$ だけ平行移動し、$y$ 軸方向に $2 + \log_{10} 2$ だけ平行移動したもの。

3. 最終的な答え

* 17(1): $60\sqrt{3}$

* 17(2): $\frac{1}{2}$

* 17(3): $2$

* 17(4): $4$

* 18: $x = 1$, $4^y + 4^{-y} = 23$, $8^y + 8^{-y} = 110$

* 19(1): $x = -2$

* 19(2): 解けない

* 20: $x$ 軸方向に $\frac{5}{2}$、$y$ 軸方向に $2 + \log_{10} 2$