行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$ を対角化し、さらに自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$ を対角化し、さらに自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の固有値を求める。

$A - \lambda I$ の行列式を計算する。

$det(A - \lambda I) = det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 2 & -2-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - (1)(2) = -2-\lambda + 2\lambda + \lambda^2 - 2 = \lambda^2 + \lambda - 4 = 0$

$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-4)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

固有値は $\lambda_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ と $\lambda_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ である。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ のとき、

$\begin{bmatrix} 1-\frac{-1 + \sqrt{17}}{2} & 1 \\ 2 & -2-\frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{3 - \sqrt{17}}{2} & 1 \\ 2 & \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$(\frac{3 - \sqrt{17}}{2})x + y = 0$

$y = \frac{\sqrt{17} - 3}{2} x$

固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ \sqrt{17} - 3 \end{bmatrix}$

$\lambda_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ のとき、

$\begin{bmatrix} 1-\frac{-1 - \sqrt{17}}{2} & 1 \\ 2 & -2-\frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} \frac{3 + \sqrt{17}}{2} & 1 \\ 2 & \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$(\frac{3 + \sqrt{17}}{2})x + y = 0$

$y = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} x$

固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 - \sqrt{17} \end{bmatrix}$

$P = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ \sqrt{17} - 3 & -3 - \sqrt{17} \end{bmatrix}$

$D = \begin{bmatrix} \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \end{bmatrix}$

$A = PDP^{-1}$

$A^n = PD^nP^{-1}$

$D^n = \begin{bmatrix} (\frac{-1 + \sqrt{17}}{2})^n & 0 \\ 0 & (\frac{-1 - \sqrt{17}}{2})^n \end{bmatrix}$

$det(P) = 2(-3 - \sqrt{17}) - 2(\sqrt{17} - 3) = -6 - 2\sqrt{17} - 2\sqrt{17} + 6 = -4\sqrt{17}$

$P^{-1} = \frac{1}{-4\sqrt{17}} \begin{bmatrix} -3 - \sqrt{17} & -2 \\ 3 - \sqrt{17} & 2 \end{bmatrix}$

$A^n = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ \sqrt{17} - 3 & -3 - \sqrt{17} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (\frac{-1 + \sqrt{17}}{2})^n & 0 \\ 0 & (\frac{-1 - \sqrt{17}}{2})^n \end{bmatrix} \frac{1}{-4\sqrt{17}} \begin{bmatrix} -3 - \sqrt{17} & -2 \\ 3 - \sqrt{17} & 2 \end{bmatrix}$

画像にある途中までの計算は、固有値を求める部分までで、画像にある $\lambda=2$ は間違いです。固有ベクトルは$\lambda=2$ で計算されたものです。

3. 最終的な答え

$A^n = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ \sqrt{17} - 3 & -3 - \sqrt{17} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (\frac{-1 + \sqrt{17}}{2})^n & 0 \\ 0 & (\frac{-1 - \sqrt{17}}{2})^n \end{bmatrix} \frac{1}{-4\sqrt{17}} \begin{bmatrix} -3 - \sqrt{17} & -2 \\ 3 - \sqrt{17} & 2 \end{bmatrix}$