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与えられた問題は、以下の和を求めることです。 $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$

代数学等比数列級数シグマ
2025/7/27

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の和を求めることです。
∑k=1n5k−1\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}

2. 解き方の手順

この和は、初項が a=1a=1、公比が r=5r=5、項数が nn の等比数列の和です。等比数列の和の公式を使うと、
Sn=a(rn−1)r−1S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}
この問題に当てはめると、
Sn=1(5n−1)5−1S_n = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1}
Sn=5n−14S_n = \frac{5^n - 1}{4}

3. 最終的な答え

5n−14\frac{5^n - 1}{4}

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