$2.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ と $log_{10}3 = 0.4771$ を用います。

1. 問題の内容

$2.4^n$ の整数部分が3桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ と $log_{10}3 = 0.4771$ を用います。

2. 解き方の手順

$2.4^n$ の整数部分が3桁であるとは、$100 \leq 2.4^n < 1000$ が成り立つということです。

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$log_{10}100 \leq log_{10}2.4^n < log_{10}1000$

$2 \leq n log_{10}2.4 < 3$

ここで、$2.4 = \frac{24}{10} = \frac{2^3 \cdot 3}{10}$ なので、

$log_{10}2.4 = log_{10} \frac{2^3 \cdot 3}{10} = log_{10}(2^3 \cdot 3) - log_{10}10 = 3log_{10}2 + log_{10}3 - 1$

与えられた値を用いて計算すると、

$log_{10}2.4 = 3(0.3010) + 0.4771 - 1 = 0.9030 + 0.4771 - 1 = 1.3801 - 1 = 0.3801$

よって、不等式は

$2 \leq 0.3801n < 3$

各辺を0.3801で割ると、

$\frac{2}{0.3801} \leq n < \frac{3}{0.3801}$

$\frac{20000}{3801} \leq n < \frac{30000}{3801}$

$5.26177 \leq n < 7.89266$

$n$ は整数なので、$n=6, 7$

したがって、$n$ の個数は2個です。

3. 最終的な答え

2個