行列 $A$ による変換で、与えられた直線 $L$ がどのような直線に移されるかを求める問題です。具体的には以下の2つのケースがあります。 (1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$, $L: x + 3y = 0$ (2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $L: 2x - y + 3 = 0$

1. 問題の内容

行列 $A$ による変換で、与えられた直線 $L$ がどのような直線に移されるかを求める問題です。具体的には以下の2つのケースがあります。

(1) $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$, $L: x + 3y = 0$

(2) $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $L: 2x - y + 3 = 0$

2. 解き方の手順

一般に、行列 $A$ による変換を $(x', y') = A(x, y)$ と表します。ここで、$(x, y)$ は変換前の点の座標、$(x', y')$ は変換後の点の座標です。

したがって、$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$となります。

この式から $x, y$ を $x', y'$ で表し、与えられた直線 $L$ の式に代入することで、変換後の直線の方程式を求めることができます。

(1) の場合：

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ より、

$x' = 2x$

$y' = 3x - 4y$

したがって、$x = \frac{x'}{2}$

これを$y' = 3x - 4y$ に代入して、$y' = 3(\frac{x'}{2}) - 4y$　より、$4y = \frac{3}{2}x' - y'$ となり、$y = \frac{3}{8}x' - \frac{1}{4}y'$

直線 $L: x + 3y = 0$ に代入すると、

$\frac{x'}{2} + 3(\frac{3}{8}x' - \frac{1}{4}y') = 0$

$\frac{x'}{2} + \frac{9}{8}x' - \frac{3}{4}y' = 0$

$\frac{4}{8}x' + \frac{9}{8}x' - \frac{6}{8}y' = 0$

$\frac{13}{8}x' - \frac{6}{8}y' = 0$

$13x' - 6y' = 0$

したがって、変換後の直線は $13x - 6y = 0$ となります。

(2) の場合：

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ より、

$x' = 2x - y$

$y' = x + 2y$

この連立方程式を解いて $x, y$ を $x', y'$ で表します。

$2x' = 4x - 2y$ と $y' = x + 2y$ を足すと

$2x' + y' = 5x$　より　$x = \frac{2x' + y'}{5}$

$2y' = 2x + 4y$ から $x' = 2x - y$ を引くと

$2y' - x' = 5y$ より $y = \frac{2y' - x'}{5}$

直線 $L: 2x - y + 3 = 0$ に代入すると、

$2(\frac{2x' + y'}{5}) - (\frac{2y' - x'}{5}) + 3 = 0$

$\frac{4x' + 2y'}{5} - \frac{2y' - x'}{5} + 3 = 0$

$\frac{4x' + 2y' - 2y' + x'}{5} + 3 = 0$

$\frac{5x'}{5} + 3 = 0$

$x' + 3 = 0$

したがって、変換後の直線は $x + 3 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $13x - 6y = 0$

(2) $x + 3 = 0$