行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$ を対角化し、さらに自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$ を対角化し、さらに自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

$A$ の固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ である。

$$

\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & -2-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - (2)(2) = \lambda^2 + \lambda - 2 - 4 = \lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0

$$

よって、固有値は $\lambda_1 = -3, \lambda_2 = 2$ である。

(2) 各固有値に対する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = -3$ のとき、$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$ を満たす固有ベクトル $v_1$ を求める。

$$

A - \lambda_1 I = A + 3I = \begin{bmatrix} 1+3 & 2 \\ 2 & -2+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}

$$

$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ より、 $2x + y = 0$. よって、$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ とできる。

$\lambda_2 = 2$ のとき、$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$ を満たす固有ベクトル $v_2$ を求める。

$$

A - \lambda_2 I = A - 2I = \begin{bmatrix} 1-2 & 2 \\ 2 & -2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}

$$

$\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ より、 $-x + 2y = 0$. よって、$v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ とできる。

(3) $A$ を対角化する行列 $P$ を求める。

$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ とする。

$P^{-1} = \frac{1}{(1)(1) - (2)(-2)} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ となる。

$D = P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ となる。

(4) $A^n$ を求める。

$A = PDP^{-1}$ より、$A^n = PD^nP^{-1}$ である。

$D^n = \begin{bmatrix} (-3)^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix}$ となる。

$$

A^n = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (-3)^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix} \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} (-3)^n & 2^{n+1} \\ -2(-3)^n & 2^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}

= \frac{1}{5} \begin{bmatrix} (-3)^n + 2^{n+2} & -2(-3)^n + 2^{n+1} \\ -2(-3)^n + 2^{n+1} & 4(-3)^n + 2^n \end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

$A^n = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} (-3)^n + 4 \cdot 2^n & -2(-3)^n + 2 \cdot 2^n \\ -2(-3)^n + 2 \cdot 2^n & 4(-3)^n + 2^n \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} (-3)^n + 2^{n+2} & -2(-3)^n + 2^{n+1} \\ -2(-3)^n + 2^{n+1} & 4(-3)^n + 2^n \end{bmatrix}$