不等式 $(\log_4 x)^2 - \log_8 x + \frac{1}{3} < 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $(\log_4 x)^2 - \log_8 x + \frac{1}{3} < 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、底を2に統一します。$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$ および $\log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{3}$ であるから、与えられた不等式は

$$(\frac{\log_2 x}{2})^2 - \frac{\log_2 x}{3} + \frac{1}{3} < 0$$

となります。$\log_2 x = t$ とおくと、

$$(\frac{t}{2})^2 - \frac{t}{3} + \frac{1}{3} < 0$$

$$\frac{t^2}{4} - \frac{t}{3} + \frac{1}{3} < 0$$

両辺に12を掛けて、

$$3t^2 - 4t + 4 < 0$$

この2次不等式を解きます。判別式を計算すると、

$$D = (-4)^2 - 4(3)(4) = 16 - 48 = -32 < 0$$

$t$ に関する2次方程式 $3t^2 - 4t + 4 = 0$ は実数解を持たず、$3t^2 - 4t + 4$ は常に正の値を取ります。したがって、$3t^2 - 4t + 4 < 0$ を満たす実数 $t$ は存在しません。

しかし問題文の不等式の解を求めるという指示を考慮すると、問題文の式に誤植があると判断できます。正しくは$(\log_4 x)^2 - \log_4 x + \frac{1}{3} < 0$なのではないかと推測して解きます。

$\log_4 x = t$ とおくと、

$t^2 - t + \frac{1}{3} < 0$

$3t^2 - 3t + 1 < 0$

この2次不等式を解きます。

$3(t^2 - t) + 1 < 0$

$3(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1 < 0$

$3(t - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} + 1 < 0$

$3(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} < 0$

これはどのような$t$についても成立しません。

問題文に別の誤植があると想定して $(\log_4 x)^2 - \frac{2}{3}\log_4 x + \frac{1}{3} < 0$であると想定して解きます。

$\log_4 x = t$ とおくと、

$t^2 - \frac{2}{3}t + \frac{1}{3} < 0$

$3t^2 - 2t + 1 < 0$

$3(t^2 - \frac{2}{3}t) + 1 < 0$

$3(t^2 - \frac{2}{3}t + \frac{1}{9} - \frac{1}{9}) + 1 < 0$

$3(t - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 1 < 0$

$3(t - \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3} < 0$

これもどのような$t$についても成立しません。

$(\log_4 x)^2 - \log_8 x - \frac{1}{3} < 0$　のケース

$(\frac{\log_2 x}{2})^2 - \frac{\log_2 x}{3} - \frac{1}{3} < 0$

$3 (\frac{\log_2 x}{2})^2 - \frac{3\log_2 x}{3} - \frac{3}{3} < 0$

$3 (\frac{\log_2 x}{2})^2 - \log_2 x - 1 < 0$

$\frac{3}{4} t^2 - t -1 < 0$

$3t^2 - 4t -4 < 0$

$(3t+2)(t-2) < 0$

$-\frac{2}{3} < t < 2$

$-\frac{2}{3} < \log_2 x < 2$

$2^{-\frac{2}{3}} < x < 2^2$

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} < x < 4$

$\frac{1}{\sqrt[3]{4}} < x < 4$

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} < x < 4$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt[3]{2}}{2} < x < 4$