$a$ を定数とする方程式 $4^x - a \cdot 2^{x+1} - a + 12 = 0$ ... (*) について、以下の問いに答える問題です。 (1) $t = 2^x$ とおくとき、$t$ の満たす方程式を求める。 (2) (1) の方程式が正の重解をもつとき、$a$ の値と (*) の解 $x_0$ を求める。 (3) (2) で求めた $x_0$ と $\frac{3}{2}$ の大小関係を決定する。 (4) (2) で求めた $x_0$ と $\log_3 4$ の大小関係を決定する。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする方程式 $4^x - a \cdot 2^{x+1} - a + 12 = 0$ ... (*) について、以下の問いに答える問題です。

(1) $t = 2^x$ とおくとき、$t$ の満たす方程式を求める。

(2) (1) の方程式が正の重解をもつとき、$a$ の値と (*) の解 $x_0$ を求める。

(3) (2) で求めた $x_0$ と $\frac{3}{2}$ の大小関係を決定する。

(4) (2) で求めた $x_0$ と $\log_3 4$ の大小関係を決定する。

2. 解き方の手順

(1) $t = 2^x$ とおくと、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ であり、$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t$ であるから、与えられた方程式は

$t^2 - 2at - a + 12 = 0$

となる。

(2) (1)で求めた $t$ の方程式 $t^2 - 2at - a + 12 = 0$ が正の重解を持つとき、判別式を $D$ とすると、

$D/4 = a^2 - (-a + 12) = a^2 + a - 12 = (a+4)(a-3) = 0$

より、$a = -4, 3$ である。

$a = -4$ のとき、 $t^2 + 8t + 16 = (t+4)^2 = 0$ より $t = -4$ となり、正の解ではないので不適。

$a = 3$ のとき、 $t^2 - 6t + 9 = (t-3)^2 = 0$ より $t = 3$ となり、これは正の解である。

$t = 3$ のとき、$2^{x_0} = 3$ より、$x_0 = \log_2 3$ となる。

したがって、$a=3$, $x_0 = \log_2 3$

(3) $x_0 = \log_2 3$ と $\frac{3}{2}$ の大小を比較する。

$x_0 = \log_2 3$ を 2 を底とする指数で考えると、$2^{x_0} = 3$ である。

一方、$2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ である。

$3 = \sqrt{9}$ であるから、$3 > \sqrt{8}$ である。

よって、$2^{x_0} > 2^{\frac{3}{2}}$ であるから、$x_0 > \frac{3}{2}$ である。

(4) $x_0 = \log_2 3$ と $\log_3 4$ の大小を比較する。

$x_0 = \log_2 3$ より、$\frac{1}{x_0} = \frac{1}{\log_2 3} = \log_3 2$

$\log_3 4 = \log_3 2^2 = 2 \log_3 2 = \frac{2}{x_0}$

したがって、$x_0$ と $\frac{2}{x_0}$ の大小を比較すれば良い。

$x_0^2$ と $2$ の大小を比較することになる。

$x_0 = \log_2 3$ より、$1 < x_0 < 2$ である。

したがって、$1 < x_0^2 < 4$ である。

$x_0 = \log_2 3$ より、$x_0^2 = (\log_2 3)^2$ である。

$x_0 > \frac{3}{2}$ であるから、$x_0^2 > \frac{9}{4} > 2$ である。

したがって、$x_0^2 > 2$ であるから、$x_0 > \frac{2}{x_0}$ である。

よって、$x_0 > \log_3 4$ である。

3. 最終的な答え

(1) $t^2 - 2at - a + 12 = 0$

(2) $a = 3$, $x_0 = \log_2 3$

(3) $x_0 > \frac{3}{2}$

(4) $x_0 > \log_3 4$