ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ と $\vec{y} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\vec{x}$ と $\vec{y}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos{\theta}$ を求めます。 (2) $\vec{x} + p\vec{y}$ が $\vec{x}$ と直交するときの $p$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

**Ex2**

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ と $\vec{y} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\vec{x}$ と $\vec{y}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos{\theta}$ を求めます。

(2) $\vec{x} + p\vec{y}$ が $\vec{x}$ と直交するときの $p$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\cos{\theta}$ を求めるには、内積の定義を利用します。

$\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| |\vec{y}| \cos{\theta}$ より、

$\cos{\theta} = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{|\vec{x}| |\vec{y}|}$

$\vec{x} \cdot \vec{y} = (1)(2) + (-2)(3) = 2 - 6 = -4$

$|\vec{x}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$

$|\vec{y}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$

よって、

$\cos{\theta} = \frac{-4}{\sqrt{5} \sqrt{13}} = \frac{-4}{\sqrt{65}}$

(2) $\vec{x} + p\vec{y}$ が $\vec{x}$ と直交するとき、 $(\vec{x} + p\vec{y}) \cdot \vec{x} = 0$ となります。

$(\vec{x} + p\vec{y}) \cdot \vec{x} = \vec{x} \cdot \vec{x} + p (\vec{y} \cdot \vec{x}) = 0$

$|\vec{x}|^2 + p (\vec{y} \cdot \vec{x}) = 0$

$5 + p(-4) = 0$

$4p = 5$

$p = \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{\theta} = -\frac{4}{\sqrt{65}}$

(2) $p = \frac{5}{4}$

**Ex3**

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\vec{a} \times \vec{b}$ を求めます。

(2) $(\vec{a}, \vec{b})$ を求めます。

(3) $(\vec{a} \times \vec{b}, \vec{c})$ を求めます。

(4) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} (3)(2) - (6)(1) \\ (6)(-3) - (2)(2) \\ (2)(1) - (3)(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 6 \\ -18 - 4 \\ 2 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -22 \\ 11 \end{pmatrix}$

(2) $(\vec{a}, \vec{b})$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を表します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-3) + (3)(1) + (6)(2) = -6 + 3 + 12 = 9$

(3) $(\vec{a} \times \vec{b}, \vec{c})$ は $\vec{a} \times \vec{b}$ と $\vec{c}$ の内積を表します。

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (0)(1) + (-22)(2) + (11)(-4) = 0 - 44 - 44 = -88$

(4) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \begin{pmatrix} (-22)(-4) - (11)(2) \\ (11)(1) - (0)(-4) \\ (0)(2) - (-22)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 88 - 22 \\ 11 - 0 \\ 0 + 22 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 66 \\ 11 \\ 22 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ -22 \\ 11 \end{pmatrix}$

(2) $(\vec{a}, \vec{b}) = 9$

(3) $(\vec{a} \times \vec{b}, \vec{c}) = -88$

(4) $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \begin{pmatrix} 66 \\ 11 \\ 22 \end{pmatrix}$

**Ex4**

1. 問題の内容

2点 A(1, -1), B(-2, 3) を通る直線の方程式を求め、さらにこの直線と点 C(1, 1) との距離を求めます。

2. 解き方の手順

まず、直線 AB の方程式を求めます。直線 AB の方向ベクトルは $\vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 - 1 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ です。

直線 AB の方程式は、パラメータ $t$ を用いて $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ と表せます。

すなわち、 $x = 1 - 3t$, $y = -1 + 4t$ です。

$4x = 4 - 12t$, $3y = -3 + 12t$ となり、これらを足し合わせると $4x + 3y = 1$ となります。

次に、直線 $4x + 3y - 1 = 0$ と点 C(1, 1) との距離 $d$ を求めます。点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|4(1) + 3(1) - 1|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|4 + 3 - 1|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{6}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

直線の方程式：$4x + 3y - 1 = 0$

点 C(1, 1) との距離：$d = \frac{6}{5}$

**Ex5**

1. 問題の内容

3点 A(2, 1, 1), B(3, -1, 1), C(4, 1, -1) を通る平面の方程式を求め、さらにこの平面と点 D(1, 1, 1) との距離を求めます。

2. 解き方の手順

まず、平面の法線ベクトルを求めます。$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 - 2 \\ -1 - 1 \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$、$\vec{AC} = \begin{pmatrix} 4 - 2 \\ 1 - 1 \\ -1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ とします。

法線ベクトル $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} (-2)(-2) - (0)(0) \\ (0)(2) - (1)(-2) \\ (1)(0) - (-2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$。簡単にするために、$\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ を用います。

平面の方程式は $2(x - 2) + 1(y - 1) + 2(z - 1) = 0$、すなわち $2x - 4 + y - 1 + 2z - 2 = 0$ より $2x + y + 2z - 7 = 0$ です。

次に、平面 $2x + y + 2z - 7 = 0$ と点 D(1, 1, 1) との距離 $d$ を求めます。点と平面の距離の公式より、

$d = \frac{|2(1) + 1(1) + 2(1) - 7|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 1 + 2 - 7|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-2|}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

平面の方程式：$2x + y + 2z - 7 = 0$

点 D(1, 1, 1) との距離：$d = \frac{2}{3}$

**Ex6**

1. 問題の内容

空間の3点を結んでできる三角形の面積を求めます。

(1) A(0, 0, 0), B(5, 2, 3), C(1, 3, 1)

(2) A(-1, 2, 3), B(0, 1, 2), C(2, -3, 4)

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} (2)(1) - (3)(3) \\ (3)(1) - (5)(1) \\ (5)(3) - (2)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 9 \\ 3 - 5 \\ 15 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 13 \end{pmatrix}$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-7)^2 + (-2)^2 + (13)^2} = \sqrt{49 + 4 + 169} = \sqrt{222}$

三角形の面積 $S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{222}}{2}$

(2)

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) \\ 1 - 2 \\ 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ -3 - 2 \\ 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} (-1)(1) - (-1)(-5) \\ (-1)(3) - (1)(1) \\ (1)(-5) - (-1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 5 \\ -3 - 1 \\ -5 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

三角形の面積 $S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{2\sqrt{14}}{2} = \sqrt{14}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{222}}{2}$

(2) $\sqrt{14}$

**Ex7**

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ -2 & 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 10 & 2 & 9 & 1 \\ 11 & 4 & 8 & 3 \\ 5 & 7 & 12 & 6 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $A + B$ を求めます。

(2) $A + B + C$ を求めます。

(3) $B - A$ を求めます。

(4) $2A - B + C$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $A + B = \begin{pmatrix} 11 & 4 & 8 & -2 \\ 11 & 5 & 10 & 8 \\ 3 & 10 & 11 & 8 \end{pmatrix}$

(2) $A + B + C = \begin{pmatrix} 13 & 3 & 11 & -1 \\ 11 & 6 & 10 & 9 \\ 5 & 9 & 12 & 8 \end{pmatrix}$

(3) $B - A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 10 & 4 \\ 11 & 3 & 6 & -2 \\ 7 & 4 & 13 & 4 \end{pmatrix}$

(4) $2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & -6 \\ 0 & 2 & 4 & 10 \\ -4 & 6 & -2 & 4 \end{pmatrix}$

$2A - B + C = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 & -6 \\ 0 & 2 & 4 & 10 \\ -4 & 6 & -2 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 & 2 & 9 & 1 \\ 11 & 4 & 8 & 3 \\ 5 & 7 & 12 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 1 & -8 & -6 \\ -11 & -1 & -4 & 8 \\ -7 & -2 & -13 & -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A + B = \begin{pmatrix} 11 & 4 & 8 & -2 \\ 11 & 5 & 10 & 8 \\ 3 & 10 & 11 & 8 \end{pmatrix}$

(2) $A + B + C = \begin{pmatrix} 13 & 3 & 11 & -1 \\ 11 & 6 & 10 & 9 \\ 5 & 9 & 12 & 8 \end{pmatrix}$

(3) $B - A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 10 & 4 \\ 11 & 3 & 6 & -2 \\ 7 & 4 & 13 & 4 \end{pmatrix}$

(4) $2A - B + C = \begin{pmatrix} -6 & 1 & -8 & -6 \\ -11 & -1 & -4 & 8 \\ -7 & -2 & -13 & -2 \end{pmatrix}$