数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その漸化式は $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その漸化式は $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、特性方程式を求めます。漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ から、特性方程式は次のようになります。

$x^2 = x + 2$

この方程式を解きます。

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

したがって、特性解は $x = 2, -1$ です。

よって、数列の一般項は次の形で表されます。

$a_n = A(2)^n + B(-1)^n$

ここで、$A$ と $B$ は定数です。初期条件 $a_1 = 2$ と $a_2 = 3$ を用いて $A$ と $B$ を求めます。

$n = 1$ のとき:

$a_1 = 2A + (-1)B = 2$

$n = 2$ のとき:

$a_2 = 4A + B = 3$

この連立方程式を解きます。最初の式を$B$について解くと$B=2A-2$となります。これを二番目の式に代入すると

$4A + (2A-2) = 3$

$6A=5$

$A = \frac{5}{6}$

よって、$B = 2(\frac{5}{6}) - 2 = \frac{5}{3} - 2 = -\frac{1}{3}$ となります。

したがって、一般項は次のようになります。

$a_n = \frac{5}{6}(2)^n - \frac{1}{3}(-1)^n$

$a_n = \frac{5}{6}(2)^n - \frac{1}{3}(-1)^n = \frac{5 \cdot 2^{n}}{6} - \frac{(-1)^n}{3}$

$a_n = \frac{5 \cdot 2^{n-1}}{3} - \frac{(-1)^n}{3}$

$a_n = \frac{5 \cdot 2^{n-1} - (-1)^n}{3}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{5 \cdot 2^{n-1} - (-1)^n}{3}$