$8^x = 24$, $27^y = 24$, $64^z = 24$ を満たすとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$8^x = 24$, $27^y = 24$, $64^z = 24$ を満たすとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式から $x, y, z$ を求めます。

$8^x = 24$ より、両辺の対数をとると $x \log 8 = \log 24$ となります。したがって、$x = \frac{\log 24}{\log 8}$ です。

同様に、$27^y = 24$ より、$y = \frac{\log 24}{\log 27}$ です。

また、$64^z = 24$ より、$z = \frac{\log 24}{\log 64}$ です。

次に、$\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ を計算します。

$\frac{1}{x} = \frac{\log 8}{\log 24}$

$\frac{1}{y} = \frac{\log 27}{\log 24}$

$\frac{1}{z} = \frac{\log 64}{\log 24}$

したがって、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{\log 8}{\log 24} + \frac{\log 27}{\log 24} + \frac{\log 64}{\log 24}$

$= \frac{\log 8 + \log 27 + \log 64}{\log 24}$

$= \frac{\log (8 \cdot 27 \cdot 64)}{\log 24}$

ここで、$8 = 2^3$, $27 = 3^3$, $64 = 2^6$ なので、

$8 \cdot 27 \cdot 64 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^6 = 2^9 \cdot 3^3 = (2^3 \cdot 3)^3 = (8 \cdot 3)^3 = 24^3$

したがって、

$\frac{\log (8 \cdot 27 \cdot 64)}{\log 24} = \frac{\log (24^3)}{\log 24} = \frac{3 \log 24}{\log 24} = 3$

3. 最終的な答え

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