与えられた行列による変換によって、平面 $2x + 3y - 3z - 6 = 0$ がどのような図形になるかを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列による変換によって、平面 $2x + 3y - 3z - 6 = 0$ がどのような図形になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列をAとします。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

変換後の座標を $(x', y', z')$ とすると、元の座標 $(x, y, z)$ との間には次の関係があります。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

つまり、

$x' = x - y$

$y' = y + 2z$

$z' = 2x - y + z$

この式から、$x, y, z$ を $x', y', z'$ で表します。まず、最初の式から $x = x' + y$ となります。これを3番目の式に代入すると、

$z' = 2(x' + y) - y + z = 2x' + y + z$

したがって、$z = z' - 2x' - y$

これを2番目の式に代入すると、

$y' = y + 2(z' - 2x' - y) = y + 2z' - 4x' - 2y = -y + 2z' - 4x'$

したがって、$y = 2z' - 4x' - y'$

これを $x = x' + y$ に代入すると、

$x = x' + 2z' - 4x' - y' = -3x' - y' + 2z'$

以上より、

$x = -3x' - y' + 2z'$

$y = -4x' - y' + 2z'$

$z = -2x' + z'$

これらの式を元の平面の方程式 $2x + 3y - 3z - 6 = 0$ に代入します。

$2(-3x' - y' + 2z') + 3(-4x' - y' + 2z') - 3(-2x' + z') - 6 = 0$

$-6x' - 2y' + 4z' - 12x' - 3y' + 6z' + 6x' - 3z' - 6 = 0$

$(-6 - 12 + 6)x' + (-2 - 3)y' + (4 + 6 - 3)z' - 6 = 0$

$-12x' - 5y' + 7z' - 6 = 0$

したがって、変換後の平面の方程式は

$12x' + 5y' - 7z' + 6 = 0$

3. 最終的な答え

変換後の図形は平面 $12x + 5y - 7z + 6 = 0$ である。