与えられた指数方程式 $8^x - 4^{x+1} - 2^{x+2} + 16 = 0$ を解いて、$x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた指数方程式 $8^x - 4^{x+1} - 2^{x+2} + 16 = 0$ を解いて、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を底が 2 の指数関数で書き換えます。

$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$

$4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}$

$2^{x+2}$ はそのまま。

$16 = 2^4$

したがって、方程式は次のようになります。

$2^{3x} - 2^{2x+2} - 2^{x+2} + 2^4 = 0$

$2^{3x} - 2^2 \cdot 2^{2x} - 2^2 \cdot 2^x + 2^4 = 0$

$2^{3x} - 4 \cdot 2^{2x} - 4 \cdot 2^x + 16 = 0$

ここで、$y = 2^x$ とおくと、方程式は次のようになります。

$y^3 - 4y^2 - 4y + 16 = 0$

この 3 次方程式を解きます。因数定理を用いると、$y=2$ が解の一つであることが分かります。

$(2)^3 - 4(2)^2 - 4(2) + 16 = 8 - 16 - 8 + 16 = 0$

したがって、$(y-2)$ は因数です。多項式を $(y-2)$ で割ると、次のようになります。

$y^3 - 4y^2 - 4y + 16 = (y-2)(y^2 - 2y - 8)$

さらに、二次式を因数分解すると、

$y^2 - 2y - 8 = (y-4)(y+2)$

したがって、

$y^3 - 4y^2 - 4y + 16 = (y-2)(y-4)(y+2) = 0$

$y$ の解は、$y = 2, 4, -2$ です。

$y = 2^x$ であったので、

$2^x = 2$ より $x = 1$

$2^x = 4 = 2^2$ より $x = 2$

$2^x = -2$ より、実数解は存在しません。

したがって、$x=1$ と $x=2$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = 1, 2$