$13.5^n$ の整数部分が4桁となるような整数 $n$ の個数を求める。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

$13.5^n$ の整数部分が4桁となるような整数 $n$ の個数を求める。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

$13.5^n$ の整数部分が4桁であるということは、$1000 \leq 13.5^n < 10000$ が成り立つことを意味します。

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 1000 \leq \log_{10} 13.5^n < \log_{10} 10000$

$3 \leq n \log_{10} 13.5 < 4$

$3 \leq n \log_{10} \frac{27}{2} < 4$

$3 \leq n (\log_{10} 27 - \log_{10} 2) < 4$

$3 \leq n (3 \log_{10} 3 - \log_{10} 2) < 4$

与えられた値を代入すると、

$3 \leq n (3(0.4771) - 0.3010) < 4$

$3 \leq n (1.4313 - 0.3010) < 4$

$3 \leq n (1.1303) < 4$

$\frac{3}{1.1303} \leq n < \frac{4}{1.1303}$

$2.654 \leq n < 3.539$

整数 $n$ の値は $3$ だけなので、個数は $1$ 個です。

3. 最終的な答え

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