$2^x = 5$ のとき、$\frac{2^{3x} + 2^{-3x}}{2^x + 2^{-x}}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2^x = 5$ のとき、$\frac{2^{3x} + 2^{-3x}}{2^x + 2^{-x}}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2^{3x}$ と $2^{-3x}$ を計算する。

$2^{3x} = (2^x)^3 = 5^3 = 125$

$2^{-3x} = (2^x)^{-3} = 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$

次に、$2^{-x}$ を計算する。

$2^{-x} = (2^x)^{-1} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

与えられた式にこれらの値を代入する。

$\frac{2^{3x} + 2^{-3x}}{2^x + 2^{-x}} = \frac{125 + \frac{1}{125}}{5 + \frac{1}{5}}$

分子と分母をそれぞれ計算する。

分子: $125 + \frac{1}{125} = \frac{125^2 + 1}{125} = \frac{15625 + 1}{125} = \frac{15626}{125}$

分母: $5 + \frac{1}{5} = \frac{5^2 + 1}{5} = \frac{25 + 1}{5} = \frac{26}{5}$

したがって、

$\frac{2^{3x} + 2^{-3x}}{2^x + 2^{-x}} = \frac{\frac{15626}{125}}{\frac{26}{5}} = \frac{15626}{125} \cdot \frac{5}{26} = \frac{15626}{25 \cdot 26} = \frac{15626}{650}$

$\frac{15626}{650} = \frac{7813}{325}$

3. 最終的な答え

$\frac{7813}{325}$