$4.32^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$4.32^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ および $\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

整数部分が4桁であるということは、$4.32^n$ は1000以上10000未満であるということです。つまり、以下の不等式が成り立ちます。

$1000 \le 4.32^n < 10000$

これを10を底とする対数で表すと、

$\log_{10} 1000 \le \log_{10} (4.32^n) < \log_{10} 10000$

$3 \le n \log_{10} 4.32 < 4$

ここで、$\log_{10} 4.32$ を計算します。

$\log_{10} 4.32 = \log_{10} (432/100) = \log_{10} 432 - \log_{10} 100 = \log_{10} (2^4 \cdot 3^3) - 2$

$= \log_{10} 2^4 + \log_{10} 3^3 - 2 = 4 \log_{10} 2 + 3 \log_{10} 3 - 2$

$= 4 \times 0.3010 + 3 \times 0.4771 - 2 = 1.2040 + 1.4313 - 2 = 2.6353 - 2 = 0.6353$

したがって、

$3 \le 0.6353 n < 4$

各辺を0.6353で割ると、

$3/0.6353 \le n < 4/0.6353$

$4.721 \le n < 6.296$

$n$ は整数なので、$n=5, 6$ となります。したがって、$n$ の個数は2個です。

3. 最終的な答え

2