与えられた等式を満たす有理数 $p$ と $q$ の値を求めます。問題は2つあります。 (1) $(\sqrt{2}-1)p + q\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$ (2) $\frac{p}{\sqrt{2}-1} + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$

1. 問題の内容

与えられた等式を満たす有理数 $p$ と $q$ の値を求めます。問題は2つあります。

(1) $(\sqrt{2}-1)p + q\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$

(2) $\frac{p}{\sqrt{2}-1} + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{2}-1)p + q\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$

この式を整理すると、 $\sqrt{2}$ の項と有理数の項に分けることができます。

$$-p + (p+q)\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$$

有理数部分と無理数部分を比較して、次の連立方程式を得ます。

$$-p = 2$$

$$p + q = 1$$

最初の式から $p = -2$ が得られます。

これを2番目の式に代入すると、 $-2 + q = 1$ となり、$q = 3$ が得られます。

(2) $\frac{p}{\sqrt{2}-1} + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$

まず、分母を払います。$\sqrt{2}-1$ の有理化を行いましょう。

$$\frac{p(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$$

$$\frac{p(\sqrt{2}+1)}{2-1} + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$$

$$p(\sqrt{2}+1) + \frac{q}{\sqrt{2}} = 1$$

$$p\sqrt{2} + p + \frac{q\sqrt{2}}{2} = 1$$

$$(p+\frac{q}{2})\sqrt{2} + p = 1$$

$\sqrt{2}$ の項と有理数の項に分けることができます。

次の連立方程式を得ます。

$$p = 1$$

$$p + \frac{q}{2} = 0$$

最初の式から $p = 1$ が得られます。

これを2番目の式に代入すると、$1 + \frac{q}{2} = 0$ となり、$\frac{q}{2} = -1$、したがって、$q = -2$ が得られます。

3. 最終的な答え

(1) $p = -2, q = 3$

(2) $p = 1, q = -2$