$x = 2 + \sqrt{5}$, $y = 2 - \sqrt{5}$ のとき、$x^2 - xy + y^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = 2 + \sqrt{5}$, $y = 2 - \sqrt{5}$ のとき、$x^2 - xy + y^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x+y$ と $xy$ の値を計算します。

$x + y = (2 + \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5}) = 4$

$xy = (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$

次に、$x^2 - xy + y^2$ を変形します。

$x^2 - xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 3xy = (x+y)^2 - 3xy$

得られた $x+y$ と $xy$ の値を代入します。

$(x+y)^2 - 3xy = (4)^2 - 3(-1) = 16 + 3 = 19$

3. 最終的な答え

19