方程式 $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求め、xが小さい順に答える問題です。

1. 問題の内容

方程式 $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ をすべて求め、xが小さい順に答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形して、$y$ について解きます。

$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$

$\frac{3}{y} = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}$

$y = \frac{3x}{x-2}$

ここで、$y$ が整数であるためには、$\frac{3x}{x-2}$ が整数でなければなりません。

$\frac{3x}{x-2} = \frac{3(x-2) + 6}{x-2} = 3 + \frac{6}{x-2}$

したがって、$x-2$ は 6 の約数でなければなりません。

$x$ は正の整数なので、$x-2$ は $-1$, $1$, $2$, $3$, $6$ のいずれかの値を取ります。

$x-2 = -1$ のとき、$x = 1$ であり、$y = \frac{3(1)}{1-2} = -3$ となり、$y$ が正の整数という条件を満たしません。

$x-2 = 1$ のとき、$x = 3$ であり、$y = 3 + \frac{6}{1} = 9$ となります。

$x-2 = 2$ のとき、$x = 4$ であり、$y = 3 + \frac{6}{2} = 6$ となります。

$x-2 = 3$ のとき、$x = 5$ であり、$y = 3 + \frac{6}{3} = 5$ となります。

$x-2 = 6$ のとき、$x = 8$ であり、$y = 3 + \frac{6}{6} = 4$ となります。

以上の結果から、$(x, y)$ の組は $(3, 9)$, $(4, 6)$, $(5, 5)$, $(8, 4)$ となります。

$x$ が小さい順に並べると、$(3, 9)$, $(4, 6)$, $(5, 5)$, $(8, 4)$ となります。

3. 最終的な答え

(3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4)