数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、特性方程式を立てます。

漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ に対して、特性方程式は

$x^2 = x + 2$

となります。これを解くと

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2, -1$

となります。したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、定数 $A, B$ を用いて

$a_n = A(2)^n + B(-1)^n$

と表されます。

次に、$a_1 = 2$ と $a_2 = 3$ の条件から $A$ と $B$ を求めます。

$n=1$ のとき $a_1 = 2A - B = 2$

$n=2$ のとき $a_2 = 4A + B = 3$

これらの式を連立させて解きます。

$2A - B = 2$

$4A + B = 3$

上の式と下の式を足すと

$6A = 5$

$A = \frac{5}{6}$

$A = \frac{5}{6}$ を $2A - B = 2$ に代入すると

$2(\frac{5}{6}) - B = 2$

$\frac{5}{3} - B = 2$

$B = \frac{5}{3} - 2 = \frac{5}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{1}{3}$

よって、$A = \frac{5}{6}$、$B = -\frac{1}{3}$ なので、

$a_n = \frac{5}{6}(2)^n - \frac{1}{3}(-1)^n$

$a_n = \frac{5}{6}2^n - \frac{1}{3}(-1)^n$

$a_n = \frac{5}{3}2^{n-1} - \frac{1}{3}(-1)^n$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{5}{3}2^{n-1} - \frac{1}{3}(-1)^n$