与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。問題は４つあります。

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。問題は４つあります。

2. 解き方の手順

恒等式の性質を利用して、各問題の定数を求めます。

(1) $-4x + 9 = a(x + 3) + b(2x - 1)$

右辺を展開して整理します。

$-4x + 9 = ax + 3a + 2bx - b$

$-4x + 9 = (a + 2b)x + (3a - b)$

係数を比較して、以下の連立方程式を得ます。

$a + 2b = -4$

$3a - b = 9$

2番目の式を2倍すると $6a - 2b = 18$。これを1番目の式と足し合わせると $7a = 14$ となり、$a = 2$ が得られます。

$a = 2$ を 1番目の式に代入すると $2 + 2b = -4$ となり、$2b = -6$ なので、$b = -3$ が得られます。

したがって、$a = 2, b = -3$。

(2) $3x + 5 = a(2x + 1) + b(x - 3)$

右辺を展開して整理します。

$3x + 5 = 2ax + a + bx - 3b$

$3x + 5 = (2a + b)x + (a - 3b)$

係数を比較して、以下の連立方程式を得ます。

$2a + b = 3$

$a - 3b = 5$

1番目の式を3倍すると $6a + 3b = 9$。これを2番目の式と足し合わせると $7a = 14$ となり、$a = 2$ が得られます。

$a = 2$ を 1番目の式に代入すると $4 + b = 3$ となり、$b = -1$ が得られます。

したがって、$a = 2, b = -1$。

(3) $x^2 - 4 = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c$

右辺を展開して整理します。

$x^2 - 4 = a(x^2 - 2x + 1) + bx - b + c$

$x^2 - 4 = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c$

$x^2 - 4 = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)$

係数を比較して、以下の連立方程式を得ます。

$a = 1$

$-2a + b = 0$

$a - b + c = -4$

$a = 1$ を 2番目の式に代入すると $-2 + b = 0$ となり、$b = 2$ が得られます。

$a = 1, b = 2$ を 3番目の式に代入すると $1 - 2 + c = -4$ となり、$-1 + c = -4$ なので、$c = -3$ が得られます。

したがって、$a = 1, b = 2, c = -3$。

(4) $x^2 + 3x + 4 = a(x^2 + 2) + bx(x - 3)$

右辺を展開して整理します。

$x^2 + 3x + 4 = ax^2 + 2a + bx^2 - 3bx$

$x^2 + 3x + 4 = (a + b)x^2 - 3bx + 2a$

係数を比較して、以下の連立方程式を得ます。

$a + b = 1$

$-3b = 3$

$2a = 4$

3番目の式より、$a = 2$ が得られます。

$a = 2$ を 1番目の式に代入すると $2 + b = 1$ となり、$b = -1$ が得られます。

したがって、$a = 2, b = -1$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = -3$

(2) $a = 2, b = -1$

(3) $a = 1, b = 2, c = -3$

(4) $a = 2, b = -1$